Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) takiej, że \(b\ne a\), prawdziwa jest nierówność
\(a^2+3b^2+4>2a+6b\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Aby wykazać nierówność, badamy różnicę jej stron.
\[a^2+3b^2+4-2a-6b>0\]
2 Uzupełnij do kwadratów
Suma kwadratów jest nieujemna, co pozwala ocenić różnicę.
\[a^2+3b^2+4-2a-6b=(a-1)^2+3(b-1)^2\]
3 Uzasadnij nierówność ostrą
Suma byłaby równa zeru tylko wtedy, gdyby \(a=1\) i \(b=1\). Warunek \(b\ne a\) wyklucza tę możliwość.
\[b\ne a\implies (a-1)^2+3(b-1)^2>0\]
Odpowiedź
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\ne a\) podana nierówność jest prawdziwa.
\[a^2+3b^2+4>2a+6b\]
Sprawdzenie
Równość stron zachodziłaby wyłącznie dla \(a=b=1\), co przeczy warunkowi \(b\ne a\). Zatem nierówność jest ściśle spełniona w całej wskazanej dziedzinie.
\[(a-1)^2+3(b-1)^2=0\iff a=b=1\]