Otwarte2 pkt
Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(A=(0,3)\). Punkt \(B=(2,0)\) leży na wykresie funkcji \(f\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisz postać kanoniczną
Wierzchołek paraboli to \(A=(0,3)\), więc funkcja ma postać \(f(x)=a(x-0)^2+3\), gdzie \(a\neq 0\).
\[f(x)=ax^2+3\]
2 Wyznacz współczynnik
Punkt \(B=(2,0)\) leży na wykresie, zatem \(f(2)=0\). Podstawiamy jego współrzędne i obliczamy \(a\).
\[0=a\cdot 2^2+3\quad\Longrightarrow\quad 4a=-3\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{3}{4}\]
Odpowiedź
Wzór funkcji to \(f(x)=-\frac{3}{4}x^2+3\).
\[f(x)=-\frac{3}{4}x^2+3\]
Sprawdzenie
Dla \(x=0\) wartość funkcji wynosi \(3\), a dla \(x=2\) wynosi \(0\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest różny od zera, jest to funkcja kwadratowa o wymaganym wierzchołku.
\[f(0)=3,\qquad f(2)=-\frac{3}{4}\cdot 4+3=0\]