Otwarte2 pkt
W trójkącie prostokątnym równoramiennym \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(BC\) punkt \(D\) jest środkiem ramienia \(AB\). Odcinek \(CD\) ma długość \(5\) (zobacz rysunek). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Oznaczenie długości ramion
Trójkąt jest prostokątny równoramienny, więc jego przyprostokątne są równe. Ponieważ D jest środkiem AB, odcinek AD ma połowę długości AB.
\[AB=AC=x,\qquad AD=\frac{x}{2}\]
2 Obliczenie długości ramienia
Trójkąt ACD jest prostokątny w A, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.
\[AC^2+AD^2=CD^2\quad\Longrightarrow\quad x^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2=25\quad\Longrightarrow\quad \frac54x^2=25\quad\Longrightarrow\quad x=2\sqrt5\]
3 Obliczenie obwodu
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną BC, a następnie dodajemy długości boków.
\[BC=\sqrt{x^2+x^2}=x\sqrt2=2\sqrt{10},\qquad P=AB+AC+BC=4\sqrt5+2\sqrt{10}\]
Odpowiedź
Obwód trójkąta ABC wynosi \(4\sqrt5+2\sqrt{10}\).
\[P=4\sqrt5+2\sqrt{10}\]
Sprawdzenie
Dla obliczonego ramienia \(AD=\sqrt5\). Wtedy \(AC^2+AD^2=20+5=25=CD^2\), więc dana długość CD jest zachowana.
\[(2\sqrt5)^2+(\sqrt5)^2=25=5^2\]