Zadanie 21 — matura 2023, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC|=4\) i \(|CD|=3\) (zobacz rysunek).

Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa

Okrąg o środku S i średnicy AB. Prosta k jest styczna w A, a prosta l przecina okrąg w C i B. Proste przecinają się w D. Odcinki DC i CB oznaczono odpowiednio 3 i 4.

\(\frac{7}{2}\)

\(5\)

\(\sqrt{12}\)

\(\sqrt{3}+2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość odcinka DB

Punkt C leży między D i B, więc dodajemy długości odcinków.

\[DB=DC+CB=3+4=7\]

2 Długość średnicy AB

Z twierdzenia o stycznej i siecznej wyznaczamy DA. Ponieważ styczna w A jest prostopadła do średnicy AB, trójkąt DAB jest prostokątny.

\[DA^2=DC\cdot DB=3\cdot7=21,\qquad AB^2=DB^2-DA^2=49-21=28\]

3 Odległość punktu A od prostej l

Kąt ACB jest prosty, gdyż AB jest średnicą. Odcinek AC jest więc prostopadły do prostej l, a jego długość jest szukaną odległością.

\[AC^2=AB^2-BC^2=28-16=12,\qquad AC=\sqrt{12}\]

Odpowiedź

Odległość wynosi \(\sqrt{12}\). Odpowiedź C.

\[\sqrt{12}=2\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Wyznaczona długość spełnia twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ABC: suma kwadratów przyprostokątnych wynosi \(28\), czyli tyle co kwadrat średnicy AB.

\[AC^2+BC^2=12+16=28=AB^2\]