Zamknięte1 pkt
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości \(8\) jest równa \(2\sqrt{3}\). Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa
A
\(3\)
B
\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)
C
\(1\)
D
\(\sqrt{3}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Pole podstawy
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny o boku \(a\), więc korzystamy ze wzoru na jego pole.
\[P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]
2 Obliczenie krawędzi
Podstawiamy pole podstawy i wysokość do wzoru na objętość, a następnie rozwiązujemy równanie. Przyjmujemy dodatnią długość krawędzi.
\[2\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot8=\frac{2a^2\sqrt{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad a^2=3\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{3}\]
Odpowiedź
Długość krawędzi podstawy wynosi \(\sqrt{3}\). Odpowiedź D.
\[a=\sqrt{3}\]
Sprawdzenie
Dla \(a=\sqrt{3}\) pole podstawy wynosi \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\), a objętość \(2\sqrt{3}\), zgodnie z treścią zadania.
\[V=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot8=2\sqrt{3}\]