Zadanie 36 — matura 2023, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2023 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W trapezie równoramiennym \(ABCD\) podstawa \(CD\) ma długość \(5\). Punkt \(F=(3,11)\) jest środkiem odcinka \(CD\). Prosta o równaniu \(y=-\frac{4}{3}x+15\) jest osią symetrii tego trapezu oraz \(B=\left(\frac{23}{2},8\right)\).

Oblicz współrzędne wierzchołka \(A\) oraz pole tego trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Środek górnej podstawy

Oś symetrii przechodzi przez środek odcinka \(AB\) i jest do niego prostopadła. Prosta \(AB\) ma więc współczynnik kierunkowy \(\frac34\). Jej punkt przecięcia \(E\) z osią jest środkiem \(AB\).

\[y=\frac34x-\frac58,\quad \frac34x-\frac58=-\frac43x+15\quad\Longrightarrow\quad E=\left(\frac{15}{2},5\right)\]

2 Współrzędne wierzchołka A

Ponieważ \(E\) jest środkiem \(AB\), współrzędne \(A\) otrzymujemy z równości \(A=2E-B\).

\[A=2\left(\frac{15}{2},5\right)-\left(\frac{23}{2},8\right)=\left(\frac72,2\right)\]

3 Długość podstawy i wysokość

Długość \(AB\) jest dwukrotnością \(BE\). Odcinek \(EF\) leży na osi prostopadłej do podstaw, więc jest wysokością trapezu.

\[AB=2\sqrt{\left(\frac{23}{2}-\frac{15}{2}\right)^2+(8-5)^2}=10,\qquad h=EF=\sqrt{\left(\frac{15}{2}-3\right)^2+(5-11)^2}=\frac{15}{2}\]

4 Pole trapezu

Stosujemy wzór na pole trapezu o podstawach \(AB=10\), \(CD=5\) i wysokości \(h=\frac{15}{2}\).

\[P=\frac{AB+CD}{2}\,h=\frac{10+5}{2}\cdot\frac{15}{2}=\frac{225}{4}\]

Odpowiedź

Wierzchołek A ma współrzędne (7/2, 2), a pole trapezu wynosi 225/4 jednostek kwadratowych.

\[A=\left(\frac72,2\right),\qquad P=\frac{225}{4}\]

Sprawdzenie

Środek otrzymanego odcinka AB to E=(15/2, 5), który leży na podanej osi. Wektor AB=(8, 6) jest prostopadły do kierunku osi (3, −4), ponieważ ich iloczyn skalarny wynosi 0. Punkt F również leży na osi: −4/3·3+15=11. Zatem EF jest wysokością używaną w obliczeniu pola.

\[\frac{A+B}{2}=\left(\frac{15}{2},5\right),\qquad (8,6)\cdot(3,-4)=24-24=0\]