Matematyka — matura 2019

Rozwiązaniem równania \(\frac{(x^{2}-2x-3)\cdot(x^{2}-9)}{x-1}=0\) nie jest liczba

Liczba \(\frac{\log_{3}27}{\log_{3}\sqrt{27}}\) jest równa

Jedną z liczb spełniających nierówność \((x-6)\cdot(x-2)^{2}\cdot(x+4)\cdot(x+10)>0\) jest

Liczba dodatnia \(a\) jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o 50%, a jego mianownik zwiększymy o 50%, to otrzymamy liczbę \(b\) taką, że

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(a+1)x+11\), gdzie \(a\) to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe \(x=\frac{3}{4}\). Stąd wynika, że

Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=(m\sqrt{5}-1)x+3\). Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby \(m\) spełniającej warunek

Układ równań \(\begin{cases}2x-y=2\\x+my=1\end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań dla

Rysunek przedstawia wykres funkcji \(f\) zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty \(B=(2,-1)\) i \(C=(4,-1)\) należą do wykresu funkcji.

Równanie \(f(x)=-1\) ma

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla liczb naturalnych \(n\geq 1\), o wyrazach dodatnich. Jeśli \(a_2+a_9=a_4+a_k\), to \(k\) jest równe

W ciągu \((a_n)\) określonym dla każdej liczby \(n\geq 1\) jest spełniony warunek \(a_{n+3}=-2\cdot 3^{n+1}\). Wtedy

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)\) jest po uproszczeniu równe

Kąt \(\alpha\in(0^\circ,180^\circ)\) oraz wiadomo, że \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha=-\frac{3}{8}\). Wartość wyrażenia \((\cos\alpha-\sin\alpha)^2+2\) jest równa

Wartość wyrażenia \(2\sin^2 18^\circ+\sin^2 72^\circ+\cos^2 18^\circ\) jest równa

Punkty \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(r\). Punkt \(A\) jest punktem wspólnym prostych \(BC\) i \(SD\), a odcinki \(AB\) i \(SC\) są równej długości. Miara kąta \(BCS\) jest równa \(34^\circ\) (zobacz rysunek). Wtedy

Pole trójkąta \(ABC\) o wierzchołkach \(A=(0,0)\), \(B=(4,2)\), \(C=(2,6)\) jest równe

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) wybrano trzy punkty \(A\), \(B\), \(C\) tak, że \(|\angle AOB|=70^\circ\), \(|\angle OAC|=25^\circ\). Cięciwa \(AC\) przecina promień \(OB\) (zobacz rysunek). Wtedy miara \(\angle OBC\) jest równa

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek \(AB\) o końcach w punktach \(A=(7,4)\), \(B=(11,12)\). Punkt \(S\) leży wewnątrz odcinka \(AB\) oraz \(|AS|=3\cdot|BS|\). Wówczas

Suma odległości punktu \(A=(-4,2)\) od prostych o równaniach \(x=4\) i \(y=-4\) jest równa

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 96 cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę \(44^\circ\). Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka \(A\) przecina bok \(BC\) tego trójkąta w punkcie \(D\). Kąt \(ADC\) ma miarę

Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 jest

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości 4. Krawędź boczna \(DS\) jest prostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek).

Pole ściany \(BCS\) tego ostrosłupa jest równe

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) ściany \(ABCD\) sześcianu przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta, jaki odcinek \(PH\) tworzy z płaszczyzną \(ABCD\), jest równy

Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości 12. Objętość tego walca jest zatem równa

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych \(\{20,21,22,\ldots,39,40\}\) losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 4 jest równe

Rozwiąż nierówność \(x(7x+2)>7x+2\).

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(x\), które spełniają warunek: \(\frac{3x^{2}-8x-3}{x-3}=x-3\).

Dany jest trójkąt \(ABC\). Punkt \(S\) jest środkiem boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\) są równe.

Wykaż, że dla każdej liczby \(a>0\) i dla każdej liczby \(b>0\) prawdziwa jest nierówność \[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}.\]

W ciągu geometrycznym przez \(S_n\) oznaczamy sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \(n\geq 1\). Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: \(S_1=2\) i \(S_2=12\). Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą 16.

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy \(3:4\). Przekątne podstawy \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(O\). Odcinek \(SO\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt \(SAO\) ma miarę \(60^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Liczby rzeczywiste \(x\) i \(z\) spełniają warunek \(2x+z=1\). Wyznacz takie wartości \(x\) i \(z\), dla których wyrażenie \(x^2+z^2+7xz\) przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

Dany jest trójkąt rozwartokątny \(ABC\), w którym \(\angle ACB\) ma miarę \(120^\circ\). Ponadto wiadomo, że \(|BC|=10\) i \(|AB|=10\sqrt{7}\) (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta \(ABC\).