Otwarte4 pkt
Dany jest trójkąt rozwartokątny \(ABC\), w którym \(\angle ACB\) ma miarę \(120^\circ\). Ponadto wiadomo, że \(|BC|=10\) i \(|AB|=10\sqrt{7}\) (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta \(ABC\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie twierdzenia cosinusów
Bok AB leży naprzeciw kąta 120°, więc oznaczamy szukaną długość AC przez x i stosujemy twierdzenie cosinusów. Ponieważ cosinus 120° wynosi −1/2, otrzymujemy równanie:
\[(10\sqrt{7})^2=x^2+10^2-2\cdot x\cdot10\cdot\cos120^\circ=x^2+100+10x\]
2 Rozwiązanie równania
Przenosimy wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki. Odrzucamy ujemny pierwiastek, ponieważ długość boku musi być dodatnia.
\[700=x^2+10x+100\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+10x-600=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x+30)(x-20)=0,\qquad x=20\]
Odpowiedź
Długość boku AC wynosi 20.
\[|AC|=20\]
Sprawdzenie
Dla AC = 20 prawa strona twierdzenia cosinusów wynosi 700, czyli tyle samo co kwadrat podanej długości AB. Wszystkie długości boków są dodatnie.
\[20^2+10^2-2\cdot20\cdot10\cdot\cos120^\circ=400+100+200=700=(10\sqrt7)^2\]