Otwarte4 pkt
Liczby rzeczywiste \(x\) i \(z\) spełniają warunek \(2x+z=1\). Wyznacz takie wartości \(x\) i \(z\), dla których wyrażenie \(x^2+z^2+7xz\) przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie jednej zmiennej
Z warunku zadania wyrażamy \(z\) przez \(x\), aby otrzymać funkcję jednej zmiennej.
\[z=1-2x\]
2 Obliczenie maksimum
Po podstawieniu i uzupełnieniu kwadratu widzimy, że odejmowany kwadrat jest najmniejszy, gdy wynosi zero.
\[x^2+(1-2x)^2+7x(1-2x)=1+3x-9x^2=\frac54-9\left(x-\frac16\right)^2\leq\frac54\]
3 Wyznaczenie wartości zmiennych
Równość zachodzi dla \(x=\frac16\). Obliczamy wtedy \(z\) z podanego warunku.
\[x=\frac16,\qquad z=1-2\cdot\frac16=\frac23\]
Odpowiedź
Największa wartość wyrażenia to \(\frac54\); jest osiągana dla \(x=\frac16\) i \(z=\frac23\).
\[x=\frac16,\quad z=\frac23,\quad \max(x^2+z^2+7xz)=\frac54\]
Sprawdzenie
Otrzymane liczby spełniają warunek, a podstawienie ich do wyrażenia daje \(\frac54\). Dla każdej innej dopuszczalnej wartości \(x\) odejmowany kwadrat jest dodatni, więc wynik jest mniejszy.
\[2\cdot\frac16+\frac23=1,\qquad \left(\frac16\right)^2+\left(\frac23\right)^2+7\cdot\frac16\cdot\frac23=\frac54\]