Zadanie 32 — matura 2019, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2019 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt o polu równym 432, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy \(3:4\). Przekątne podstawy \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(O\). Odcinek \(SO\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt \(SAO\) ma miarę \(60^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ostrosłup o podstawie prostokątnej ABCD i wierzchołku S. Punkt O jest przecięciem przekątnych podstawy, odcinek SO jest wysokością, a kąt SAO ma miarę 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Boki podstawy

Oznaczamy boki prostokąta jako 3x i 4x. Z jego pola wyznaczamy dodatnie x.

\[3x\cdot4x=432\Rightarrow12x^2=432\Rightarrow x=6,\quad AB=18,\quad BC=24\]

2 Odległość punktu A od O

Przekątną prostokąta obliczamy z twierdzenia Pitagorasa. Punkt O jest jej środkiem.

\[AC=\sqrt{18^2+24^2}=30,\quad AO=\frac{AC}{2}=15\]

3 Wysokość ostrosłupa

Trójkąt SAO jest prostokątny w O, ponieważ SO jest wysokością. Korzystamy z tangensa kąta 60°.

\[\tan60^\circ=\frac{SO}{AO}\Rightarrow SO=15\sqrt3\]

4 Objętość

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac13\cdot432\cdot15\sqrt3=2160\sqrt3\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(2160\sqrt3\) jednostek sześciennych.

\[V=2160\sqrt3\]

Sprawdzenie

Boki 18 i 24 dają pole 432 oraz stosunek 3:4. Dla otrzymanej wysokości tangens kąta SAO wynosi √3, więc kąt ma 60°.

\[18\cdot24=432,\quad18:24=3:4,\quad\frac{SO}{AO}=\frac{15\sqrt3}{15}=\sqrt3=\tan60^\circ\]