Otwarte2 pkt
W ciągu geometrycznym przez \(S_n\) oznaczamy sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \(n\geq 1\). Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: \(S_1=2\) i \(S_2=12\). Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie drugiego wyrazu
Suma dwóch początkowych wyrazów to suma pierwszego i drugiego, więc odejmujemy pierwszy wyraz od tej sumy.
\[a_1=S_1=2,\qquad a_2=S_2-S_1=12-2=10\]
2 Obliczenie ilorazu
W ciągu geometrycznym drugi wyraz jest iloczynem pierwszego wyrazu i ilorazu. Ponieważ pierwszy wyraz jest różny od zera, możemy przez niego podzielić.
\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{10}{2}=5\]
3 Obliczenie piątego wyrazu
Korzystamy ze wzoru na wyraz ciągu geometrycznego.
\[a_5=a_1q^{5-1}=2\cdot5^4=1250\]
Odpowiedź
Iloraz ciągu wynosi 5, a piąty wyraz wynosi 1250.
\[q=5,\qquad a_5=1250\]
Sprawdzenie
Dla obliczonego ilorazu drugi wyraz wynosi 10, zatem suma dwóch początkowych wyrazów jest równa podanemu 12.
\[a_1+a_2=2+2\cdot5=12=S_2\]