Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby \(a>0\) i dla każdej liczby \(b>0\) prawdziwa jest nierówność \[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}.\]
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Sprowadzenie do wspólnego mianownika
Ponieważ \(a>0\) i \(b>0\), mianownik \(ab(a+b)\) jest dodatni. Obliczamy różnicę stron nierówności, aby ustalić jej znak.
\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\]
2 Ocena znaku
Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, a mianownik jest dodatni, więc obliczona różnica jest nieujemna.
\[(a-b)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}\]
Odpowiedź
Nierówność zachodzi dla wszystkich \(a>0\) i \(b>0\). Równość występuje wtedy i tylko wtedy, gdy \(a=b\).
\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}\]
Sprawdzenie
Dla \(a=b>0\) obie strony są równe \(2/a\). Gdy \(a\ne b\), licznik \((a-b)^2\) jest dodatni, więc nierówność jest ostra.
\[a=b\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{a}=\frac{4}{a+b}\]