Otwarte2 pkt
Dany jest trójkąt \(ABC\). Punkt \(S\) jest środkiem boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\) są równe.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Porównanie pól
Trójkąty ACS i BCS mają podstawy AS i SB na tej samej prostej oraz wspólną wysokość opuszczoną z C. Ponieważ S jest środkiem AB, ich pola są równe.
\[AS=SB\quad\Longrightarrow\quad P_{ACS}=P_{BCS}\]
2 Porównanie odległości
Oznaczmy odległości punktów A i B od prostej CS przez d_A i d_B. Obliczamy oba pola, przyjmując CS za podstawę. Równość pól i wspólna długość CS dają tezę.
\[\frac12 CS\cdot d_A=\frac12 CS\cdot d_B\quad\Longrightarrow\quad d_A=d_B\]
Odpowiedź
Odległości punktów A i B od prostej CS są równe.
\[d(A,CS)=d(B,CS)\]
Sprawdzenie
Oba trójkąty mają po połowie pola ABC, a ich wspólna podstawa CS ma dodatnią długość. Zatem równość pól rzeczywiście oznacza równość wysokości, czyli szukanych odległości.
\[P_{ACS}=P_{BCS}=\frac12P_{ABC},\qquad CS>0\]