Zamknięte1 pkt
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) ściany \(ABCD\) sześcianu przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).
Tangens kąta, jaki odcinek \(PH\) tworzy z płaszczyzną \(ABCD\), jest równy
A
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
B
\(\frac{1}{2}\)
C
\(1\)
D
\(\sqrt{2}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie rzutu odcinka
Punkt H leży pionowo nad D, więc rzutem odcinka PH na płaszczyznę ABCD jest PD. Szukany kąt to kąt HPD.
\[HD\perp(ABCD),\qquad \tan\angle HPD=\frac{HD}{PD}\]
2 Obliczenie tangensa
Jeśli krawędź sześcianu ma długość a>0, to HD=a. Przekątna kwadratu ABCD ma długość a√2, a P jest jej środkiem.
\[PD=\frac{a\sqrt{2}}{2},\qquad \tan\angle HPD=\frac{a}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}\]
Odpowiedź
Odpowiedź D.
\[\sqrt{2}\]
Sprawdzenie
Ponieważ PD jest krótsze od HD, tangens musi być większy od 1; otrzymana wartość √2 spełnia ten warunek. Obliczenie obowiązuje dla każdej krawędzi a>0.
\[\frac{HD}{PD}=\frac{a}{a/\sqrt{2}}=\sqrt{2}>1\]