Zamknięte1 pkt
Kąt \(\alpha\in(0^\circ,180^\circ)\) oraz wiadomo, że \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha=-\frac{3}{8}\). Wartość wyrażenia \((\cos\alpha-\sin\alpha)^2+2\) jest równa
A
\(\frac{15}{4}\)
B
\(\frac{9}{4}\)
C
\(\frac{27}{8}\)
D
\(\frac{21}{8}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Rozwiń kwadrat
Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy i z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
\[(\cos\alpha-\sin\alpha)^2+2=\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha+2=3-2\sin\alpha\cos\alpha\]
2 Podstaw daną wartość
Podstawiamy iloczyn podany w treści zadania.
\[3-2\left(-\frac{3}{8}\right)=3+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\]
Odpowiedź
Wartość wyrażenia wynosi \(\frac{15}{4}\). Odpowiedź A.
\[\frac{15}{4}\]
Sprawdzenie
Ponieważ \(\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{3}{8}<0\) i \(\alpha\in(0^\circ,180^\circ)\), kąt leży w II ćwiartce, gdzie taki znak iloczynu jest możliwy. Ponowne podstawienie do postaci \(3-2\sin\alpha\cos\alpha\) daje \(\frac{15}{4}\).
\[3-2\left(-\frac{3}{8}\right)=\frac{15}{4}\]