Zamknięte1 pkt
Wartość wyrażenia \(2\sin^2 18^\circ+\sin^2 72^\circ+\cos^2 18^\circ\) jest równa
A
\(0\)
B
\(1\)
C
\(2\)
D
\(4\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zamiana funkcji kąta dopełniającego
Ponieważ kąty 72° i 18° sumują się do 90°, możemy zapisać sinus 72° jako cosinus 18°.
\[\sin 72^\circ=\cos 18^\circ\]
2 Obliczenie wartości
Grupujemy równe składniki i korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
\[2\sin^2 18^\circ+\sin^2 72^\circ+\cos^2 18^\circ=2\sin^2 18^\circ+2\cos^2 18^\circ=2\]
Odpowiedź
Wartość wyrażenia wynosi 2. Odpowiedź C.
\[2\]
Sprawdzenie
Po odjęciu jednej pary składników \(\sin^2 18^\circ+\cos^2 18^\circ\) pozostaje druga taka sama para. Każda para ma wartość 1, więc suma wynosi 2.
\[(\sin^2 18^\circ+\cos^2 18^\circ)+(\sin^2 18^\circ+\cos^2 18^\circ)=1+1=2\]