Zamknięte1 pkt
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla liczb naturalnych \(n\geq 1\), o wyrazach dodatnich. Jeśli \(a_2+a_9=a_4+a_k\), to \(k\) jest równe
A
\(8\)
B
\(7\)
C
\(6\)
D
\(5\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie wyrazów ciągu
Ciąg arytmetyczny jest rosnący, więc jego różnica \(r\) jest dodatnia. Każdy wyraz zapisujemy za pomocą \(a_1\) i \(r\).
\[a_n=a_1+(n-1)r,\quad r>0\]
2 Wyznaczenie indeksu
Podstawiamy wzór do podanej równości. Ponieważ \(r>0\), możemy podzielić obie strony przez \(r\).
\[(a_1+r)+(a_1+8r)=(a_1+3r)+(a_1+(k-1)r)\quad\Longrightarrow\quad 9r=(k+2)r\quad\Longrightarrow\quad k=7\]
Odpowiedź
B. \(k=7\).
\[k=7\]
Sprawdzenie
Dla \(k=7\) obie strony równości wynoszą \(2a_1+9r\), a indeks \(7\) jest liczbą naturalną.
\[a_2+a_9=2a_1+9r=a_4+a_7\]