Matematyka — matura 2017

Niech \(a=-2\), \(b=3\). Wartość wyrażenia \(a^b-b^a\) jest równa

\(\frac{73}{9}\)

\(\frac{71}{9}\)

\(-\frac{73}{9}\)

\(-\frac{71}{9}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie danych

Podstawiamy podane wartości za a i b.

\[a^b-b^a=(-2)^3-3^{-2}\]

2 Obliczenie potęg

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność odpowiedniej potęgi.

\[(-2)^3-3^{-2}=-8-\frac{1}{3^2}=-8-\frac{1}{9}\]

3 Odjęcie ułamków

Sprowadzamy liczby do wspólnego mianownika 9.

\[-8-\frac{1}{9}=-\frac{72}{9}-\frac{1}{9}=-\frac{73}{9}\]

Odpowiedź

Wynik to −73/9, czyli odpowiedź C.

\[-\frac{73}{9}\]

Sprawdzenie

Ponieważ 3² = 9, mamy 3⁻² = 1/9, a (−2)³ = −8. Ich różnica wynosi −73/9.

\[-\frac{73}{9}+\frac{1}{9}=-\frac{72}{9}=-8\]

Zadanie 2

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczba \(9^9\cdot81^2\) jest równa

\(81^4\)

\(81\)

\(9^{13}\)

\(9^{36}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz potęgi przy tej samej podstawie

Ponieważ \(81=9^2\), możemy przedstawić oba czynniki jako potęgi liczby 9.

\[9^9\cdot81^2=9^9\cdot(9^2)^2=9^9\cdot9^4\]

2 Dodaj wykładniki

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy ich wykładniki.

\[9^9\cdot9^4=9^{9+4}=9^{13}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[9^{13}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(81^2=9^4\), wyrażenie ma wykładnik \(9+4=13\), zgodny z odpowiedzią C.

\[9^9\cdot81^2=9^9\cdot9^4=9^{13}\]

Zadanie 3

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wartość wyrażenia \(\log_4 8+5\log_4 2\) jest równa

\(2\)

\(4\)

\(2+\log_4 5\)

\(1+\log_4 10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Zapisujemy argumenty i podstawę jako potęgi liczby 2, aby obliczyć oba logarytmy.

\[\log_4 8=\log_{2^2}2^3=\frac32,\qquad \log_4 2=\frac12\]

2 Dodanie składników

Podstawiamy obliczone wartości do wyrażenia.

\[\log_4 8+5\log_4 2=\frac32+5\cdot\frac12=4\]

Odpowiedź

Wynik to 4, czyli odpowiedź B.

\[4\]

Sprawdzenie

Korzystając z własności logarytmów, otrzymujemy logarytm liczby 256 przy podstawie 4. Ponieważ czwarta potęga 4 wynosi 256, wynik jest poprawny.

\[\log_4(8\cdot2^5)=\log_4 256=4,\qquad 4^4=256\]

Zadanie 4

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o 30%. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła

o mniej niż 50%, ale więcej niż 40%.

o mniej niż 60%, ale więcej niż 50%.

dokładnie o 60%.

o więcej niż 60%.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie promieni

Oznaczamy promień drugiego koła przez r. Promień pierwszego jest od niego większy o 30%.

\[r_1=r+0{,}30r=1{,}30r\]

2 Porównanie pól

Pole koła jest proporcjonalne do kwadratu promienia, więc obliczamy stosunek pól.

\[\frac{P_1}{P_2}=\frac{\pi(1{,}30r)^2}{\pi r^2}=1{,}69\]

3 Obliczenie wzrostu

Od stosunku pól odejmujemy 1, aby otrzymać wzrost względem pola drugiego koła.

\[(1{,}69-1)\cdot100\%=69\%\]

Odpowiedź

Pole pierwszego koła jest większe o 69%, czyli o więcej niż 60%. Odpowiedź D.

\[69\%>60\%\]

Sprawdzenie

Przy promieniu drugiego koła równym 10 promień pierwszego wynosi 13. Pola wynoszą odpowiednio 100π i 169π, a różnica 69π stanowi 69% mniejszego pola.

\[\frac{169\pi-100\pi}{100\pi}=0{,}69=69\%\]

Zadanie 5

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczba \(\left(2\sqrt{7}-5\right)^2\cdot\left(2\sqrt{7}+5\right)^2\) jest równa

\(9\)

\(3\)

\(2809\)

\(28-20\sqrt{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz kwadraty

Iloczyn kwadratów jest kwadratem iloczynu, więc możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów.

\[(2\sqrt{7}-5)^2(2\sqrt{7}+5)^2=\left((2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5)\right)^2\]

2 Oblicz wartość

Iloczyn sumy i różnicy tych samych liczb to różnica ich kwadratów.

\[\left((2\sqrt{7})^2-5^2\right)^2=(28-25)^2=3^2=9\]

Odpowiedź

Wynik to 9, czyli odpowiedź A.

\[9\]

Sprawdzenie

Czynniki przed podniesieniem do kwadratu mają iloczyn 3, więc całe wyrażenie ma wartość 9.

\[(2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5)=28-25=3,\quad 3^2=9\]

Zadanie 6

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb \(x\) spełniających warunek: \(11\leq 2x-7\leq 15\).

Oś liczbowa z pełnymi punktami przy −11 i −9 oraz zaznaczonymi częściami na lewo od −11 i na prawo od −9.

Oś liczbowa z pełnymi punktami przy 9 i 11 oraz zaznaczonymi częściami na lewo od 9 i na prawo od 11.

Oś liczbowa z pełnymi punktami przy −11 i −9 oraz zaznaczonym odcinkiem między nimi.

Oś liczbowa z pełnymi punktami przy 9 i 11 oraz zaznaczonym odcinkiem między nimi.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń −7

Dodajemy 7 do każdej części nierówności, aby wyznaczyć wyrażenie z x.

\[11\leq 2x-7\leq 15\quad\Longleftrightarrow\quad 18\leq 2x\leq 22\]

2 Wyznacz x

Dzielimy każdą część przez dodatnią liczbę 2, więc znaki nierówności się nie zmieniają.

\[18\leq 2x\leq 22\quad\Longleftrightarrow\quad 9\leq x\leq 11\]

Odpowiedź

Zbiór rozwiązań to przedział domknięty od 9 do 11. Przedstawia go rysunek D.

\[x\in[9,11]\quad\text{— D}\]

Sprawdzenie

Dla końców przedziału wyrażenie 2x−7 przyjmuje odpowiednio wartości 11 i 15. Obie spełniają nierówność, więc oba końce należą do zbioru.

\[2\cdot9-7=11,\qquad 2\cdot11-7=15\]

Zadanie 7

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Rozważmy treść następującego zadania: Obwód prostokąta o bokach długości \(a\) i \(b\) jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.

Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?

\(\begin{cases}2(a+b)=60\\a+10=b\end{cases}\)

\(\begin{cases}2a+b=60\\10b=a\end{cases}\)

\(\begin{cases}2ab=60\\a-b=10\end{cases}\)

\(\begin{cases}2(a+b)=60\\10a=b\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie obwodu

Obwód prostokąta jest sumą długości jego czterech boków, więc wynosi dwa razy sumę długości a i b.

\[2(a+b)=60\]

2 Zapisanie różnicy boków

Możemy przyjąć, że bok b jest dłuższy od boku a o 10. Tę zależność spełnia równanie z odpowiedzi A.

\[a+10=b\]

3 Obliczenie długości

Podstawiamy wyrażenie na b do równania obwodu, aby wyznaczyć oba boki.

\[2(a+a+10)=60\;\Longrightarrow\;4a+20=60\;\Longrightarrow\;a=10,\quad b=20\]

Odpowiedź

Odpowiedź A. Boki mają długości 10 i 20.

\[\begin{cases}2(a+b)=60\\a+10=b\end{cases}\qquad a=10,\ b=20\]

Sprawdzenie

Długości są dodatnie, ich obwód wynosi 60, a różnica wynosi 10.

\[2(10+20)=60,\qquad 20-10=10\]

Zadanie 8

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rozwiązaniem równania \(\frac{x+1}{x+2}=3\), gdzie \(x\neq -2\), jest liczba należąca do przedziału

\((-2,1)\)

\(\langle 1,+\infty)\)

\((-\infty,-5)\)

\(\langle -5,-2)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie mianownika

Ponieważ x≠−2, mnożymy obie strony równania przez x+2.

\[x+1=3(x+2)\]

2 Wyznaczenie x

Rozwijamy nawias i przenosimy wyrazy z x na jedną stronę.

\[x+1=3x+6\quad\Longrightarrow\quad -5=2x\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{5}{2}\]

3 Wybór przedziału

Otrzymana liczba leży między −5 a −2, więc pasuje odpowiedź D.

\[-5\le -\frac{5}{2}<-2\]

Odpowiedź

D, x=−5/2.

\[x=-\frac{5}{2}\]

Sprawdzenie

Liczba −5/2 spełnia warunek x≠−2, a po podstawieniu lewa strona równania wynosi 3.

\[\frac{-\frac{5}{2}+1}{-\frac{5}{2}+2}=\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=3\]

Zadanie 9

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Linę o długości 100 metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku \(3:4:5\). Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość

\(41\frac{2}{3}\) metra.

\(33\frac{1}{3}\) metra.

60 metrów.

25 metrów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie jednej części stosunku

Dodajemy liczby w stosunku, aby ustalić, na ile równych części przypada cała lina.

\[3+4+5=12,\qquad 100:12=\frac{25}{3}\ \text{m}\]

2 Długość najdłuższego odcinka

Najdłuższy odcinek odpowiada pięciu częściom stosunku, więc mnożymy długość jednej części przez 5.

\[5\cdot\frac{25}{3}=\frac{125}{3}=41\frac{2}{3}\ \text{m}\]

Odpowiedź

Najdłuższa część ma długość 41⅔ metra. Odpowiedź A.

\[41\frac{2}{3}\ \text{m}\quad\text{— A}\]

Sprawdzenie

Długości trzech części sumują się do 100 metrów.

\[3\cdot\frac{25}{3}+4\cdot\frac{25}{3}+5\cdot\frac{25}{3}=25+\frac{100}{3}+\frac{125}{3}=100\ \text{m}\]

Zadanie 10

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\).

Współczynniki \(b\) i \(c\) spełniają warunki:

Fragment wykresu funkcji kwadratowej w układzie współrzędnych z oznaczonym początkiem oraz osiami x i y

\(b<0,\ c>0\)

\(b<0,\ c<0\)

\(b>0,\ c>0\)

\(b>0,\ c<0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak współczynnika c

Wartość funkcji dla x=0 jest równa c. Wykres przecina oś y powyżej osi x, więc c>0.

\[f(0)=c>0\]

2 Znak współczynnika b

Wierzchołek leży na prawo od osi y. Ponieważ jego pierwsza współrzędna wynosi -b/2, otrzymujemy b<0.

\[x_w=-\frac{b}{2}>0\quad\Longrightarrow\quad b<0\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A. Współczynnik b jest ujemny, a c dodatni.

\[b<0,\quad c>0\]

Sprawdzenie

Dodatnia wartość c odpowiada przecięciu osi y powyżej osi x, a ujemna wartość b daje dodatnią pierwszą współrzędną wierzchołka. Oba warunki zgadzają się z rysunkiem.

\[c>0,\qquad -\frac{b}{2}>0\]

Zadanie 11

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), o którym wiemy, że: \(a_1=2\) i \(a_2=9\). Wtedy \(a_n=79\) dla

\(n=10\)

\(n=11\)

\(n=12\)

\(n=13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała.

\[r=a_2-a_1=9-2=7\]

2 Wyznaczenie numeru wyrazu

Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny i rozwiązujemy równanie dla \(a_n=79\).

\[79=a_1+(n-1)r=2+7(n-1)\;\Longrightarrow\;77=7(n-1)\;\Longrightarrow\;n=12\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: n = 12.

\[n=12\]

Sprawdzenie

Dla n = 12 wzór daje 79, a numer wyrazu spełnia warunek n ≥ 1.

\[a_{12}=2+(12-1)\cdot 7=79\]

Zadanie 12

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: \((81, 3x, 4)\). Stąd wynika, że

\(x=18\)

\(x=6\)

\(x=\frac{85}{6}\)

\(x=\frac{6}{85}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Własność ciągu geometrycznego

Kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów skrajnych, więc wyznaczamy x z tego równania.

\[(3x)^2=81\cdot4=324\]

2 Wybór dodatniego rozwiązania

Po podzieleniu przez 9 otrzymujemy dwa rozwiązania. Ponieważ 3x jest dodatnim wyrazem ciągu, wybieramy dodatnie x.

\[9x^2=324\quad\Longrightarrow\quad x^2=36\quad\Longrightarrow\quad x=6\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: x = 6.

\[x=6\]

Sprawdzenie

Dla x = 6 środkowy wyraz wynosi 18 i jest dodatni. Ilorazy kolejnych wyrazów są równe, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{18}{81}=\frac{2}{9}=\frac{4}{18}\]

Zadanie 13

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{7}\). Stąd wynika, że

\(\cos\alpha=\frac{24}{49}\)

\(\cos\alpha=\frac{5}{7}\)

\(\cos\alpha=\frac{25}{49}\)

\(\cos\alpha=\frac{5\sqrt{6}}{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu cosinusa

Korzystamy z tożsamości pitagorejskiej, aby wyznaczyć cosinus z podanej wartości sinusa.

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}\]

2 Wybór znaku

Kąt ostry ma dodatni cosinus, więc wybieramy dodatni pierwiastek.

\[\cos\alpha=\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\cos\alpha=\frac{5}{7}\]

Sprawdzenie

Obie wartości są dodatnie, a suma ich kwadratów wynosi 1, zgodnie z tożsamością pitagorejską.

\[\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2+\left(\frac{5}{7}\right)^2=\frac{24}{49}+\frac{25}{49}=1\]

Zadanie 14

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leżą punkty \(A\), \(B\) i \(C\) (zobacz rysunek). Kąt \(ABC\) ma miarę \(121^\circ\), a kąt \(BOC\) ma miarę \(40^\circ\).

Kąt \(AOB\) ma miarę

Okrąg o środku O z punktami A, B, C oraz zaznaczonymi kątami.

\(59^\circ\)

\(50^\circ\)

\(81^\circ\)

\(78^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie łuku AC

Kąt wpisany ABC ma 121°, więc łuk AC, na którym nie leży B, ma dwa razy większą miarę. Drugi łuk AC przechodzi przez B.

\[2\cdot121^\circ=242^\circ,\qquad 360^\circ-242^\circ=118^\circ\]

2 Obliczenie kąta AOB

Miara łuku AC przechodzącego przez B jest sumą kątów środkowych AOB i BOC.

\[\angle AOB+40^\circ=118^\circ,\qquad \angle AOB=78^\circ\]

Odpowiedź

Kąt AOB ma miarę 78°, czyli odpowiedź D.

\[\boxed{78^\circ\;\text{— D}}\]

Sprawdzenie

Kąty środkowe AOB i BOC dają razem 118°. Łuk AC nieprzechodzący przez B ma więc 242°, a oparty na nim kąt wpisany ma 121°, zgodnie z treścią.

\[\frac{360^\circ-(78^\circ+40^\circ)}{2}=121^\circ\]

Zadanie 15

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AC\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AB\), a ponadto \(|AE|=|DE|=4\), \(|AB|=6\) (zobacz rysunek).

Odcinek \(CE\) ma długość

Trójkąt ABC z punktami E na boku AC i D na boku BC; odcinek ED jest równoległy do AB. Przy odcinkach AE i ED oznaczono 4, a przy AB oznaczono 6.

\(\frac{16}{3}\)

\(\frac{8}{3}\)

\(8\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ \(DE\parallel AB\), trójkąty \(CDE\) i \(CAB\) są podobne. Stosunek odpowiadających sobie boków wynosi \(4:6\).

\[\frac{CE}{CA}=\frac{DE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\]

2 Obliczenie długości CE

Punkt \(E\) leży na boku \(AC\), więc \(CA=CE+AE=CE+4\). Podstawiamy to do proporcji.

\[\frac{CE}{CE+4}=\frac{2}{3}\quad\Longrightarrow\quad 3CE=2CE+8\quad\Longrightarrow\quad CE=8\]

Odpowiedź

Odcinek CE ma długość 8. Poprawna odpowiedź: C.

\[|CE|=8\]

Sprawdzenie

Dla CE = 8 mamy CA = 12, a stosunki odpowiadających sobie boków są równe: 8/12 = 4/6.

\[\frac{CE}{CA}=\frac{8}{8+4}=\frac{2}{3}=\frac{DE}{AB}\]

Zadanie 16

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe \(6\sqrt{3}\). Bok tego trójkąta ma długość

\(3\sqrt{2}\)

\(2\sqrt{3}\)

\(2\sqrt{6}\)

\(6\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na pole

Pole trójkąta równobocznego o boku \(a\) wynosi \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), więc przyrównujemy je do podanej wartości.

\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}\]

2 Wyznaczenie boku

Dzielimy obie strony przez \(\sqrt{3}\), a następnie mnożymy przez 4. Długość boku jest dodatnia, więc wybieramy dodatni pierwiastek.

\[\frac{a^2}{4}=6\quad\Longrightarrow\quad a^2=24\quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\]

Odpowiedź

Bok ma długość \(2\sqrt{6}\). Odpowiedź C.

\[a=2\sqrt{6}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonego boku pole wynosi \(6\sqrt{3}\), zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{(2\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{24\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}\]

Zadanie 17

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Punkty \(B=(-2,4)\) i \(C=(5,1)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole tego kwadratu jest równe

\(29\)

\(40\)

\(58\)

\(74\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości boku

Punkty B i C są sąsiednimi wierzchołkami, więc odcinek BC jest bokiem kwadratu. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy kwadrat jego długości.

\[|BC|^2=(5-(-2))^2+(1-4)^2=7^2+(-3)^2=58\]

2 Obliczenie pola

Pole kwadratu jest równe kwadratowi długości boku.

\[P=|BC|^2=58\]

Odpowiedź

Pole wynosi 58. Odpowiedź C.

\[P=58\]

Sprawdzenie

Różnice współrzędnych punktów B i C wynoszą 7 i −3, a suma ich kwadratów to 49+9=58, zgodnie z otrzymanym polem.

\[7^2+(-3)^2=49+9=58\]

Zadanie 18

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\).

Kąt nachylenia krawędzi bocznej \(SA\) ostrosłupa do płaszczyzny podstawy \(ABCD\) to

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS z oznaczonym punktem O w podstawie.

\(\angle SAO\)

\(\angle SAB\)

\(\angle SOA\)

\(\angle ASB\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu krawędzi

W ostrosłupie prawidłowym wierzchołek S leży nad środkiem O podstawy, więc rzutem prostokątnym odcinka SA na płaszczyznę podstawy jest AO.

\[SO\perp(ABCD),\qquad \operatorname{rzut}(SA)=AO\]

2 Wyznaczenie kąta

Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny jest kątem między tą prostą a jej rzutem na płaszczyznę.

\[\angle(SA,(ABCD))=\angle SAO\]

Odpowiedź

A. Kąt SAO.

\[\boxed{\angle SAO}\]

Sprawdzenie

AO leży w podstawie i jest rzutem SA, ponieważ S rzutuje się na O, a A pozostaje w miejscu. Zatem kąt SAO spełnia definicję szukanego kąta.

\[S\mapsto O,\quad A\mapsto A,\quad SA\mapsto AO\]

Zadanie 19

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Graniastosłup ma 14 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

\(14\)

\(21\)

\(28\)

\(26\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie liczby boków podstawy

Graniastosłup ma dwie podstawy, każda z taką samą liczbą wierzchołków. Z 14 wierzchołków wynika, że podstawa jest siedmiokątem.

\[2n=14\quad\Rightarrow\quad n=7\]

2 Obliczenie liczby krawędzi

Każda podstawa ma 7 krawędzi, a kolejne 7 krawędzi łączy odpowiadające sobie wierzchołki podstaw.

\[7+7+7=21\]

Odpowiedź

Graniastosłup ma 21 krawędzi. Odpowiedź B.

\[21\]

Sprawdzenie

Dwie siedmiokątne podstawy mają razem 14 wierzchołków, zgodnie z treścią zadania. Liczba krawędzi w obu podstawach i między nimi wynosi 21.

\[2\cdot7=14,\qquad 2\cdot7+7=21\]

Zadanie 20

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Prosta \(k\) przechodzi przez punkt \(A=(4,-4)\) i jest prostopadła do osi \(Ox\). Prosta \(k\) ma równanie

\(x-4=0\)

\(x-y=0\)

\(y+4=0\)

\(x+y=0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania

Prosta prostopadła do osi \(Ox\) jest pionowa, więc wszystkie jej punkty mają tę samą współrzędną \(x\). Ponieważ przechodzi przez \(A=(4,-4)\), ta współrzędna wynosi 4.

\[x=4\iff x-4=0\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[x-4=0\]

Sprawdzenie

Punkt \(A\) spełnia równanie, bo \(4-4=0\). Równanie \(x=4\) opisuje prostą pionową, więc jest ona prostopadła do osi \(Ox\).

\[x_A-4=4-4=0\]

Zadanie 21

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(l\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(30^\circ\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-\sqrt{3})\) (zobacz rysunek).

Prosta \(l\) ma równanie

Układ współrzędnych z prostą l, kątem 30° przy osi Ox i przecięciem osi Oy w punkcie o rzędnej −√3.

\(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\)

\(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}\)

\(y=\frac{1}{2}x-\sqrt{3}\)

\(y=\frac{1}{2}x+\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

W równaniu prostej \(y=ax+b\) współczynnik \(a\) jest tangensem kąta nachylenia prostej do dodatniego zwrotu osi \(Ox\).

\[a=\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}\]

2 Wyznaczenie równania

Prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-\sqrt{3})\), więc wyraz wolny wynosi \(b=-\sqrt{3}\).

\[y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(y=-\sqrt{3}\), a współczynnik kierunkowy jest równy \(\tan 30^\circ\). Oba warunki są spełnione.

\[y(0)=-\sqrt{3},\qquad \frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ\]

Zadanie 22

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Dany jest stożek o wysokości \(6\) i tworzącej \(3\sqrt{5}\). Objętość tego stożka jest równa

\(36\pi\)

\(18\pi\)

\(108\pi\)

\(54\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia

Wysokość, promień podstawy i tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[r^2+6^2=(3\sqrt{5})^2,\qquad r^2=45-36=9\]

2 Obliczenie objętości

Podstawiamy pole podstawy i wysokość do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot9\cdot6=18\pi\]

Odpowiedź

B. Objętość stożka wynosi \(18\pi\).

\[V=18\pi\]

Sprawdzenie

Promień wynosi \(3\), a \(3^2+6^2=45=(3\sqrt{5})^2\), więc zgadza się z podaną tworzącą.

\[3^2+6^2=45=(3\sqrt{5})^2\]

Zadanie 23

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\) jest równa \(9\). Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa

\(8\)

\(9\)

\(10\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie x

Osiem liczb ma średnią 9, więc ich suma wynosi 72. Suma siedmiu znanych liczb to 56.

\[x+2+4+6+8+10+12+14=8\cdot9=72,\quad x+56=72,\quad x=16\]

2 Obliczenie mediany

Po uporządkowaniu ośmiu liczb mediana jest średnią czwartej i piątej liczby.

\[2,4,6,8,10,12,14,16;\quad \frac{8+10}{2}=9\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 9. Odpowiedź B.

\[9\]

Sprawdzenie

Suma uporządkowanych liczb wynosi 72, więc ich średnia to 9; środkowe liczby to 8 i 10.

\[\frac{2+4+6+8+10+12+14+16}{8}=9\]

Zadanie 24

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż \(2017\)?

\(2016\)

\(2017\)

\(1016\)

\(1017\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie zakresu

Najmniejsza liczba czterocyfrowa to 1000. Ponieważ szukane liczby są mniejsze niż 2017, największa z nich to 2016.

\[1000\leq n\leq 2016\]

2 Policzenie liczb

W przedziale liczb całkowitych z oboma końcami wliczonymi odejmujemy końce i dodajemy 1.

\[2016-1000+1=1017\]

Odpowiedź

Jest 1017 takich liczb. Odpowiedź D.

\[1017\]

Sprawdzenie

Od 1000 do 1999 jest 1000 liczb, a od 2000 do 2016 jest 17 liczb; razem 1017.

\[1000+17=1017\]

Zadanie 25

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Z pudełka, w którym jest tylko \(6\) kul białych i \(n\) kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{1}{3}\). Liczba kul czarnych jest równa

\(n=9\)

\(n=2\)

\(n=18\)

\(n=12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli to liczba kul białych podzielona przez liczbę wszystkich kul.

\[\frac{6}{6+n}=\frac{1}{3}\]

2 Obliczenie liczby kul czarnych

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę \(3(6+n)\), a następnie odejmujemy 6.

\[18=6+n\quad\Rightarrow\quad n=12\]

Odpowiedź

W pudełku jest 12 kul czarnych. Odpowiedź D.

\[n=12\]

Sprawdzenie

Dla 12 kul czarnych wszystkich kul jest 18, więc prawdopodobieństwo wylosowania białej wynosi jedną trzecią.

\[\frac{6}{6+12}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 26

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rozwiąż nierówność \(2x^{2}+x-6\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozkład na czynniki

Rozkładamy trójmian, aby wyznaczyć jego miejsca zerowe i zbadać znak iloczynu.

\[2x^{2}+x-6=(2x-3)(x+2)\]

2 Rozwiązanie nierówności

Iloczyn jest niedodatni między miejscami zerowymi. Końce przedziału należą do rozwiązania, ponieważ nierówność jest nieostra.

\[(2x-3)(x+2)\leq 0\quad\Longleftrightarrow\quad -2\leq x\leq\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od −2 do 3/2 wraz z końcami.

\[x\in\left[-2,\frac{3}{2}\right]\]

Sprawdzenie

Dla obu końców iloczyn wynosi zero. Między nimi, na przykład dla x = 0, wynosi −6; poza przedziałem, dla x = −3 i x = 2, wynosi odpowiednio 9 i 4. Znak zgadza się z wyznaczonym przedziałem.

\[f(-2)=f\left(\frac{3}{2}\right)=0,\quad f(0)=-6<0,\quad f(-3)=9>0,\quad f(2)=4>0\]

Zadanie 27

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rozwiąż równanie \((x^{2}-6)(3x+2)=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[(x^{2}-6)(3x+2)=0\iff x^{2}-6=0\ \text{lub}\ 3x+2=0\]

2 Rozwiązanie obu równań

Z pierwszego równania otrzymujemy dwa pierwiastki, a z drugiego jeden.

\[x^{2}=6\iff x=\sqrt{6}\ \text{lub}\ x=-\sqrt{6};\qquad 3x=-2\iff x=-\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Rozwiązania to \(x=-\sqrt{6}\), \(x=-\frac{2}{3}\) oraz \(x=\sqrt{6}\).

\[x\in\left\{-\sqrt{6},-\frac{2}{3},\sqrt{6}\right\}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=\pm\sqrt{6}\) pierwszy czynnik wynosi zero, a dla \(x=-\frac{2}{3}\) drugi czynnik wynosi zero. Wszystkie trzy liczby spełniają równanie.

\[(\pm\sqrt{6})^{2}-6=0,\qquad 3\left(-\frac{2}{3}\right)+2=0\]

Zadanie 28

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(4x+\frac{1}{x}\geq 4\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś 4 na lewą stronę

Aby udowodnić nierówność, wystarczy wykazać, że różnica jej stron jest nieujemna. Ponieważ x>0, możemy sprowadzić wyrażenia do wspólnego mianownika.

\[4x+\frac{1}{x}-4=\frac{4x^2-4x+1}{x}=\frac{(2x-1)^2}{x}\]

2 Oceń znak różnicy

Kwadrat jest nieujemny, a mianownik jest dodatni, więc otrzymany ułamek jest nieujemny.

\[x>0,\quad (2x-1)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad 4x+\frac{1}{x}-4\geq 0\]

Odpowiedź

Dla każdego x>0 zachodzi podana nierówność. Równość występuje dla x=1/2.

\[4x+\frac{1}{x}\geq 4\quad\text{dla }x>0\]

Sprawdzenie

Dla x=1/2, które spełnia warunek x>0, lewa strona wynosi 4. Dla pozostałych dodatnich x kwadrat (2x−1)² jest dodatni, więc nierówność jest ostra.

\[4\cdot\frac12+\frac{1}{\frac12}=2+2=4\]

Zadanie 29

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ACB|=90^\circ\) i \(|\angle ABC|=60^\circ\). Niech \(D\) oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(C\) kąta prostego i przeciwprostokątnej \(AB\) tego trójkąta. Wykaż, że \(|AD|:|DB|=3:1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości przyprostokątnych

Kąt A ma 30°, więc w trójkącie prostokątnym przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 60° jest √3 razy dłuższa od przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30°.

\[|\angle A|=30^\circ,\qquad |AC|=\sqrt{3}|BC|\]

2 Zastosowanie podobieństwa trójkątów

Trójkąty ACD i CBD są podobne do ABC. Z proporcji odpowiadających sobie boków otrzymujemy długości odcinków przeciwprostokątnej.

\[\frac{|AD|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|AB|},\qquad \frac{|DB|}{|BC|}=\frac{|BC|}{|AB|},\qquad |AD|=\frac{|AC|^2}{|AB|},\quad |DB|=\frac{|BC|^2}{|AB|}\]

3 Obliczenie stosunku

Dzielimy otrzymane długości; wspólny mianownik się skraca.

\[\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|^2}{|BC|^2}=\frac{(\sqrt{3}|BC|)^2}{|BC|^2}=3\]

Odpowiedź

Stosunek długości AD do DB wynosi 3:1.

\[|AD|:|DB|=3:1\]

Sprawdzenie

Niech |BC|=t>0. Wtedy |AC|=√3t i z twierdzenia Pitagorasa |AB|=2t. Otrzymujemy |AD|=3t/2 oraz |DB|=t/2; ich suma wynosi 2t=|AB|, zgodnie z położeniem D na przeciwprostokątnej.

\[|AD|+|DB|=\frac{3t}{2}+\frac{t}{2}=2t=|AB|\]

Zadanie 30

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru liczb \(\{1,2,4,5,10\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Losowania odbywają się ze zwracaniem, więc każde z dwóch losowań ma 5 możliwych wyników. Kolejność ma znaczenie.

\[|\Omega|=5\cdot5=25\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Iloraz jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy druga liczba dzieli pierwszą. Dla kolejnych pierwszych liczb: 1, 2, 4, 5 i 10 otrzymujemy odpowiednio 1, 2, 3, 2 i 4 możliwe drugie liczby.

\[|A|=1+2+3+2+4=12\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie uporządkowane pary są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{12}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 12/25.

\[P(A)=\frac{12}{25}\]

Sprawdzenie

Licząc według drugiej wylosowanej liczby, otrzymujemy odpowiednio 5, 3, 1, 2 i 1 dopuszczalnych pierwszych liczb. Suma ponownie wynosi 12, a otrzymane prawdopodobieństwo należy do przedziału od 0 do 1.

\[5+3+1+2+1=12,\qquad 0\leq\frac{12}{25}\leq1\]

Zadanie 31

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym spełniona jest równość \(a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100\). Oblicz sumę \(a_{25}+a_{26}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Łączymy wyrazy w pary

W ciągu arytmetycznym pary wyrazów, których indeksy mają tę samą sumę, mają równe sumy.

\[a_{21}+a_{30}=a_{24}+a_{27}=a_{25}+a_{26}\]

2 Obliczamy szukaną sumę

W podanej równości występują dwie pary, z których każda ma sumę równą szukanej.

\[100=(a_{21}+a_{30})+(a_{24}+a_{27})=2(a_{25}+a_{26}),\quad a_{25}+a_{26}=50\]

Odpowiedź

Suma wynosi 50.

\[a_{25}+a_{26}=50\]

Sprawdzenie

Obie pary wyrazów z warunku mają sumę 50, więc ich łączna suma wynosi 100.

\[(a_{21}+a_{30})+(a_{24}+a_{27})=50+50=100\]

Zadanie 32

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1=-2\) i \(x_2=6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie postaci iloczynowej

Miejsca zerowe pozwalają zapisać funkcję jako iloczyn czynników liniowych.

\[f(x)=a(x+2)(x-6)\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Podstawiamy współrzędne punktu A, ponieważ należy on do wykresu.

\[-5=a(1+2)(1-6)=-15a\quad\Rightarrow\quad a=\frac13\]

3 Obliczenie minimum

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma minimum w połowie odległości między miejscami zerowymi.

\[x_w=\frac{-2+6}{2}=2,\qquad f(2)=\frac13(2+2)(2-6)=-\frac{16}{3}\]

Odpowiedź

Najmniejsza wartość funkcji wynosi \(-\frac{16}{3}\).

\[\min f=-\frac{16}{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymana funkcja przechodzi przez punkt A. Po zapisaniu jej w postaci kanonicznej widać też, że żadna wartość nie jest mniejsza od obliczonej.

\[f(1)=\frac13\cdot3\cdot(-5)=-5,\qquad f(x)=\frac13(x-2)^2-\frac{16}{3}\geq-\frac{16}{3}\]

Zadanie 33

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Punkt \(C=(0,0)\) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego \(ABC\), którego wierzchołek \(A\) leży na osi \(Ox\), a wierzchołek \(B\) na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka \(C\) przecina przeciwprostokątną \(AB\) w punkcie \(D=(3,4)\).

Oblicz współrzędne wierzchołków \(A\) i \(B\) tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej \(AB\).

Układ współrzędnych z punktami A, B, C i D=(3,4), przeciwprostokątną AB oraz prostą przechodzącą przez C i D.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie nachylenia przeciwprostokątnej

Wysokość CD jest prostopadła do AB. Współczynnik kierunkowy CD obliczamy z punktów C i D, a współczynnik prostej prostopadłej jest jego ujemną odwrotnością.

\[a_{CD}=\frac{4-0}{3-0}=\frac43,\qquad a_{AB}=-\frac34\]

2 Równanie prostej AB

Prosta AB przechodzi przez punkt D=(3,4), więc podstawiamy jego współrzędne do równania kierunkowego.

\[y-4=-\frac34(x-3),\qquad y=-\frac34x+\frac{25}{4}\]

3 Współrzędne wierzchołków

Punkt A leży na osi Ox, zatem ma drugą współrzędną równą zero. Punkt B leży na osi Oy, więc ma pierwszą współrzędną równą zero.

\[A:\quad 0=-\frac34x+\frac{25}{4}\ \Longrightarrow\ x=\frac{25}{3};\qquad B:\quad x=0\ \Longrightarrow\ y=\frac{25}{4}\]

4 Długość przeciwprostokątnej

Stosujemy wzór na odległość punktów A i B.

\[|AB|=\sqrt{\left(\frac{25}{3}\right)^2+\left(\frac{25}{4}\right)^2}=25\sqrt{\frac19+\frac1{16}}=\frac{125}{12}\]

Odpowiedź

Wierzchołki mają współrzędne A=(25/3, 0) i B=(0, 25/4), a długość przeciwprostokątnej AB wynosi 125/12.

\[A=\left(\frac{25}{3},0\right),\qquad B=\left(0,\frac{25}{4}\right),\qquad |AB|=\frac{125}{12}\]

Sprawdzenie

Punkt D leży na wyznaczonej prostej AB, a iloczyn współczynników kierunkowych CD i AB wynosi −1, więc CD jest wysokością. Obie współrzędne punktu D mieszczą się między współrzędnymi końców odcinka AB.

\[4=-\frac34\cdot3+\frac{25}{4},\qquad \frac43\cdot\left(-\frac34\right)=-1,\qquad 0<3<\frac{25}{3},\quad 0<4<\frac{25}{4}\]

Zadanie 34

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt