Otwarte2 pkt
Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(4x+\frac{1}{x}\geq 4\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś 4 na lewą stronę
Aby udowodnić nierówność, wystarczy wykazać, że różnica jej stron jest nieujemna. Ponieważ x>0, możemy sprowadzić wyrażenia do wspólnego mianownika.
\[4x+\frac{1}{x}-4=\frac{4x^2-4x+1}{x}=\frac{(2x-1)^2}{x}\]
2 Oceń znak różnicy
Kwadrat jest nieujemny, a mianownik jest dodatni, więc otrzymany ułamek jest nieujemny.
\[x>0,\quad (2x-1)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad 4x+\frac{1}{x}-4\geq 0\]
Odpowiedź
Dla każdego x>0 zachodzi podana nierówność. Równość występuje dla x=1/2.
\[4x+\frac{1}{x}\geq 4\quad\text{dla }x>0\]
Sprawdzenie
Dla x=1/2, które spełnia warunek x>0, lewa strona wynosi 4. Dla pozostałych dodatnich x kwadrat (2x−1)² jest dodatni, więc nierówność jest ostra.
\[4\cdot\frac12+\frac{1}{\frac12}=2+2=4\]