Zadanie 29 — matura 2017, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ACB|=90^\circ\) i \(|\angle ABC|=60^\circ\). Niech \(D\) oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(C\) kąta prostego i przeciwprostokątnej \(AB\) tego trójkąta. Wykaż, że \(|AD|:|DB|=3:1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości przyprostokątnych

Kąt A ma 30°, więc w trójkącie prostokątnym przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 60° jest √3 razy dłuższa od przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30°.

\[|\angle A|=30^\circ,\qquad |AC|=\sqrt{3}|BC|\]

2 Zastosowanie podobieństwa trójkątów

Trójkąty ACD i CBD są podobne do ABC. Z proporcji odpowiadających sobie boków otrzymujemy długości odcinków przeciwprostokątnej.

\[\frac{|AD|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|AB|},\qquad \frac{|DB|}{|BC|}=\frac{|BC|}{|AB|},\qquad |AD|=\frac{|AC|^2}{|AB|},\quad |DB|=\frac{|BC|^2}{|AB|}\]

3 Obliczenie stosunku

Dzielimy otrzymane długości; wspólny mianownik się skraca.

\[\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|^2}{|BC|^2}=\frac{(\sqrt{3}|BC|)^2}{|BC|^2}=3\]

Odpowiedź

Stosunek długości AD do DB wynosi 3:1.

\[|AD|:|DB|=3:1\]

Sprawdzenie

Niech |BC|=t>0. Wtedy |AC|=√3t i z twierdzenia Pitagorasa |AB|=2t. Otrzymujemy |AD|=3t/2 oraz |DB|=t/2; ich suma wynosi 2t=|AB|, zgodnie z położeniem D na przeciwprostokątnej.

\[|AD|+|DB|=\frac{3t}{2}+\frac{t}{2}=2t=|AB|\]