Zadanie 34 — matura 2017, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ACB|=90^\circ\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \(AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \(BC\) jest równy \(4:3\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), a długość odcinka \(SC\) jest równa \(5\). Pole ściany bocznej \(BEFC\) graniastosłupa jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Graniastosłup prosty ABCDEF o podstawie trójkątnej ABC, z punktem S na odcinku AB.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przeciwprostokątnej

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej, więc promień jest równy połowie długości AB.

\[AB=2\cdot SC=2\cdot5=10\]

2 Obliczenie przyprostokątnych

Zapisujemy przyprostokątne w stosunku 4:3 i stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AC=4x,\quad BC=3x,\quad (4x)^2+(3x)^2=10^2,\quad 25x^2=100,\quad x=2,\quad AC=8,\quad BC=6\]

3 Obliczenie wysokości

Ściana boczna BEFC graniastosłupa prostego jest prostokątem o bokach BC i wysokości h.

\[BC\cdot h=48,\quad 6h=48,\quad h=8\]

4 Obliczenie objętości

Pole podstawy to połowa iloczynu przyprostokątnych. Mnożymy je przez wysokość graniastosłupa.

\[V=\frac{AC\cdot BC}{2}\cdot h=\frac{8\cdot6}{2}\cdot8=192\]

Odpowiedź

Objętość graniastosłupa wynosi 192 jednostki sześcienne.

\[V=192\]

Sprawdzenie

Przyprostokątne spełniają podany stosunek, przeciwprostokątna ma długość 10, a pole wskazanej ściany wynosi 48.

\[8:6=4:3,\quad \sqrt{8^2+6^2}=10,\quad \frac{10}{2}=5,\quad 6\cdot8=48\]