Zadanie 33 — matura 2017, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(C=(0,0)\) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego \(ABC\), którego wierzchołek \(A\) leży na osi \(Ox\), a wierzchołek \(B\) na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka \(C\) przecina przeciwprostokątną \(AB\) w punkcie \(D=(3,4)\).

Oblicz współrzędne wierzchołków \(A\) i \(B\) tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej \(AB\).

Układ współrzędnych z punktami A, B, C i D=(3,4), przeciwprostokątną AB oraz prostą przechodzącą przez C i D.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie nachylenia przeciwprostokątnej

Wysokość CD jest prostopadła do AB. Współczynnik kierunkowy CD obliczamy z punktów C i D, a współczynnik prostej prostopadłej jest jego ujemną odwrotnością.

\[a_{CD}=\frac{4-0}{3-0}=\frac43,\qquad a_{AB}=-\frac34\]

2 Równanie prostej AB

Prosta AB przechodzi przez punkt D=(3,4), więc podstawiamy jego współrzędne do równania kierunkowego.

\[y-4=-\frac34(x-3),\qquad y=-\frac34x+\frac{25}{4}\]

3 Współrzędne wierzchołków

Punkt A leży na osi Ox, zatem ma drugą współrzędną równą zero. Punkt B leży na osi Oy, więc ma pierwszą współrzędną równą zero.

\[A:\quad 0=-\frac34x+\frac{25}{4}\ \Longrightarrow\ x=\frac{25}{3};\qquad B:\quad x=0\ \Longrightarrow\ y=\frac{25}{4}\]

4 Długość przeciwprostokątnej

Stosujemy wzór na odległość punktów A i B.

\[|AB|=\sqrt{\left(\frac{25}{3}\right)^2+\left(\frac{25}{4}\right)^2}=25\sqrt{\frac19+\frac1{16}}=\frac{125}{12}\]

Odpowiedź

Wierzchołki mają współrzędne A=(25/3, 0) i B=(0, 25/4), a długość przeciwprostokątnej AB wynosi 125/12.

\[A=\left(\frac{25}{3},0\right),\qquad B=\left(0,\frac{25}{4}\right),\qquad |AB|=\frac{125}{12}\]

Sprawdzenie

Punkt D leży na wyznaczonej prostej AB, a iloczyn współczynników kierunkowych CD i AB wynosi −1, więc CD jest wysokością. Obie współrzędne punktu D mieszczą się między współrzędnymi końców odcinka AB.

\[4=-\frac34\cdot3+\frac{25}{4},\qquad \frac43\cdot\left(-\frac34\right)=-1,\qquad 0<3<\frac{25}{3},\quad 0<4<\frac{25}{4}\]