Otwarte4 pkt
Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1=-2\) i \(x_2=6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie postaci iloczynowej
Miejsca zerowe pozwalają zapisać funkcję jako iloczyn czynników liniowych.
\[f(x)=a(x+2)(x-6)\]
2 Wyznaczenie współczynnika
Podstawiamy współrzędne punktu A, ponieważ należy on do wykresu.
\[-5=a(1+2)(1-6)=-15a\quad\Rightarrow\quad a=\frac13\]
3 Obliczenie minimum
Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma minimum w połowie odległości między miejscami zerowymi.
\[x_w=\frac{-2+6}{2}=2,\qquad f(2)=\frac13(2+2)(2-6)=-\frac{16}{3}\]
Odpowiedź
Najmniejsza wartość funkcji wynosi \(-\frac{16}{3}\).
\[\min f=-\frac{16}{3}\]
Sprawdzenie
Otrzymana funkcja przechodzi przez punkt A. Po zapisaniu jej w postaci kanonicznej widać też, że żadna wartość nie jest mniejsza od obliczonej.
\[f(1)=\frac13\cdot3\cdot(-5)=-5,\qquad f(x)=\frac13(x-2)^2-\frac{16}{3}\geq-\frac{16}{3}\]