Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2026

Poziom podstawowyCzerwiecFormuła 2023

Zobacz zadania i rozwiązania 35 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

35 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}$ jest równa

$(-2)$

$\left(-\frac{1}{2}\right)$

$\frac{1}{2}$

$2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwiastków

Pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych są ujemne. Obliczamy wartości występujące w liczniku i mianowniku.

\[\sqrt[3]{-64}=-4,\qquad \sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[5]{-32}=-2\]

2 Obliczenie ilorazu

Podstawiamy obliczone wartości i dzielimy dwie liczby ujemne.

\[\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}=\frac{-4+3}{-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Ponieważ $(-4)^3=-64$, $3^3=27$ i $(-2)^5=-32$, podstawione pierwiastki są poprawne. Mianownik jest różny od zera, a $(-2)\cdot\frac{1}{2}=-1$, czyli tyle wynosi licznik.

\[(-2)\cdot\frac{1}{2}=-1=-4+3\]

Zadanie 2

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{9^4}{3^{-20}}$ jest równa

$9^{-24}$

$9^{-6}$

$9^{14}$

$9^{56}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do tej samej podstawy

Aby zastosować regułę dzielenia potęg, zapisujemy mianownik jako potęgę liczby 9.

\[3^{-20}=(3^2)^{-10}=9^{-10}\]

2 Dzielenie potęg

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{9^4}{3^{-20}}=\frac{9^4}{9^{-10}}=9^{4-(-10)}=9^{14}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[9^{14}\]

Sprawdzenie

Niezależnie, po sprowadzeniu licznika i mianownika do podstawy 3 otrzymujemy ten sam wynik.

\[\frac{9^4}{3^{-20}}=\frac{3^8}{3^{-20}}=3^{28}=(3^2)^{14}=9^{14}\]

Zadanie 3

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_{5}\sqrt[3]{25}$ jest równa

$\frac{1}{6}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{2}$

$6$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz argument jako potęgę liczby 5

Ponieważ $25=5^2$, możemy zastosować regułę $\sqrt[3]{a}=a^{1/3}$.

\[\sqrt[3]{25}=(5^2)^{1/3}=5^{2/3}\]

2 Oblicz logarytm

Logarytm przy podstawie 5 wskazuje wykładnik potęgi liczby 5.

\[\log_5\sqrt[3]{25}=\log_5 5^{2/3}=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Podnosząc 5 do otrzymanej potęgi, dostajemy argument logarytmu.

\[\left(5^{2/3}\right)^3=5^2=25\]

Zadanie 4

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $x^3-2x^2+x$ jest równa wartości wyrażenia

$x(x-1)^2$

$x(x-1)(x+1)$

$(x-1)(x^2+1)$

$(x+1)(x-1)^2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik wyrażenia zawiera $x$, więc wyłączamy go przed nawias.

\[x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)\]

2 Zastosuj wzór skróconego mnożenia

Trójmian w nawiasie jest kwadratem różnicy.

\[x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A.

\[x(x-1)^2\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu otrzymanego wyrażenia dostajemy wyjściowy wielomian dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

\[x(x-1)^2=x(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x\]

Zadanie 5

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n\geq 0$ liczba $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}$ jest podzielna przez 19.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik zawiera czynnik 7^n, więc wyłączamy go przed nawias.

\[7^n+7^{n+1}+7^{n+2}=7^n(1+7+7^2)\]

2 Wykaż podzielność

Suma w nawiasie wynosi 57, czyli 19 razy 3. Ponieważ dla całkowitego n≥0 liczba 3·7^n jest całkowita, otrzymujemy wielokrotność 19.

\[7^n(1+7+49)=57\cdot 7^n=19\cdot(3\cdot 7^n)\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby całkowitej n≥0 podana liczba jest podzielna przez 19.

\[19\mid\left(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\right)\]

Sprawdzenie

Dla n=0 suma wynosi 1+7+49=57=19·3. Dla każdego większego całkowitego n czynnik 3·7^n nadal jest liczbą całkowitą, więc wykazana postać pozostaje wielokrotnością 19.

\[7^0+7^1+7^2=57=19\cdot3\]

Zadanie 6

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dane są wielomiany $W$, $V$ oraz $H$ określone wzorami:

$W(x)=x^4$
$V(x)=x^3+1$
$H(x)=x-2$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wielomian $W(x)-V(x)\cdot H(x)$ jest określony wzorem

$2x^3-x+2$

$2x^3+x-2$

$x^4-x^3+x-2$

$x^4-x^3-x+2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Mnożenie wielomianów

Mnożymy każdy składnik wielomianu $V(x)$ przez każdy składnik $H(x)$, korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

\[V(x)\cdot H(x)=(x^3+1)(x-2)=x^4-2x^3+x-2\]

2 Odjęcie iloczynu

Odejmujemy otrzymany wielomian od $W(x)$, zmieniając znaki wszystkich składników w nawiasie, a następnie redukujemy wyrazy podobne.

\[W(x)-V(x)\cdot H(x)=x^4-(x^4-2x^3+x-2)=2x^3-x+2\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[2x^3-x+2\]

Sprawdzenie

Dla $x=1$ wartość z danych wzorów wynosi $3$; otrzymany wzór również daje $3$.

\[W(1)-V(1)H(1)=1-2\cdot(-1)=3=2\cdot1^3-1+2\]

Zadanie 7

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-2(x+3)(x-2)>0$ jest przedział

$[-3,2]$

$(-3,2)$

$[-2,3]$

$(-2,3)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie nierówności

Dzielimy obie strony przez liczbę ujemną $-2$, więc zmieniamy zwrot nierówności.

\[-2(x+3)(x-2)>0\iff(x+3)(x-2)<0\]

2 Wyznaczenie przedziału

Iloczyn dwóch czynników liniowych jest ujemny między ich miejscami zerowymi: $-3$ i $2$. Końców nie włączamy, ponieważ nierówność jest ostra.

\[-3<x<2\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: $(-3,2)$.

\[x\in(-3,2)\]

Sprawdzenie

Dla $x=0$, leżącego w otrzymanym przedziale, lewa strona wynosi $12>0$. Dla $x=-3$ i $x=2$ wynosi $0$, więc końce przedziału nie są rozwiązaniami.

\[-2(0+3)(0-2)=12>0\]

Zadanie 8

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Równania i nierówności

Dane jest równanie $\frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}$, gdzie $x\neq 0$ i $x\neq 1$.

Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału $\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianowniki

Ponieważ $x\neq 0$ i $x\neq 1$, można pomnożyć obie strony przez $3x(x-1)$.

\[3x(3x+4)=(x+3)(x-1)\]

2 Rozwiąż równanie kwadratowe

Rozwijamy nawiasy, przenosimy wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki.

\[9x^2+12x=x^2+2x-3\;\Longleftrightarrow\;8x^2+10x+3=0\;\Longleftrightarrow\;(4x+3)(2x+1)=0\]

3 Wybierz rozwiązanie z przedziału

Spośród dwóch pierwiastków tylko $-\frac34$ jest mniejsze od $-\frac23$.

\[x=-\frac34\ \text{lub}\ x=-\frac12,\qquad -\frac34<-\frac23<-\frac12\]

Odpowiedź

Jedynym rozwiązaniem należącym do podanego przedziału jest $x=-\frac34$.

\[x=-\frac34\]

Sprawdzenie

Liczba $-\frac34$ spełnia warunki dziedziny i należy do wskazanego przedziału. Po podstawieniu obie strony równania są równe $-1$.

\[\frac{3\left(-\frac34\right)+4}{-\frac34-1}=-1=\frac{-\frac34+3}{3\left(-\frac34\right)}\]

Zadanie 9

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam 3 razy więcej niż drzew iglastych.

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
$x$ – liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,
$y$ – liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby $x$ drzew iglastych oraz liczby $y$ drzew liściastych, jest

$\begin{cases}x+y=198\\x+18=3y\end{cases}$

$\begin{cases}x+y=198\\3x+18=y\end{cases}$

$\begin{cases}x+y=198\\\frac{1}{3}x+18=y\end{cases}$

$\begin{cases}x+y=198\\3(x+18)=y\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby drzew

Łącznie rośnie 198 drzew, więc suma liczb drzew obu rodzajów wynosi 198.

\[x+y=198\]

2 Zapisanie warunku o drzewach liściastych

Po dodaniu 18 drzew iglastych byłoby ich $x+18$. Drzew liściastych byłoby wtedy trzy razy tyle.

\[y=3(x+18)\]

3 Obliczenie liczby drzew

Podstawiamy wyrażenie na $y$ do pierwszego równania, aby wyznaczyć $x$, a następnie $y$.

\[x+3(x+18)=198\;\Rightarrow\;4x=144\;\Rightarrow\;x=36,\qquad y=198-36=162\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D. W parku rośnie 36 drzew iglastych i 162 drzewa liściaste.

\[\begin{cases}x+y=198\\3(x+18)=y\end{cases}\qquad x=36,\ y=162\]

Sprawdzenie

Liczby drzew sumują się do 198. Po dodaniu 18 drzew iglastych byłoby ich 54, a 162 drzewa liściaste to trzy razy tyle.

\[36+162=198,\qquad 3(36+18)=3\cdot54=162\]

Zadanie 10

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=3x-4$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja $f$ jest rosnąca.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,4)$.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Monotoniczność

Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej wynosi 3. Ponieważ jest dodatni, funkcja jest rosnąca, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.

\[f(x)=3x-4,\quad 3>0\]

2 Przecięcie z osią Oy

Na osi Oy współrzędna x jest równa 0. Obliczamy wartość funkcji w tym punkcie, więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.

\[f(0)=3\cdot 0-4=-4,\quad (0,-4)\ne(0,4)\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: F.

\[\mathrm{P},\ \mathrm{F}\]

Sprawdzenie

Dla większej wartości argumentu wartość funkcji rośnie: f(1)=−1 jest większe od f(0)=−4. Ponadto punkt (0,4) nie leży na wykresie, bo f(0)=−4.

\[f(1)-f(0)=(-1)-(-4)=3>0,\quad f(0)=-4\ne 4\]

Zadanie 11

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=2x^2-kx+6$, gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $k$ jest równa

$-11$

$-7$

$7$

$11$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Ponieważ 2 jest miejscem zerowym funkcji, jej wartość dla tego argumentu wynosi 0.

\[f(2)=2\cdot 2^2-k\cdot 2+6=14-2k=0\]

2 Obliczenie parametru

Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe.

\[14-2k=0\quad\Rightarrow\quad 2k=14\quad\Rightarrow\quad k=7\]

Odpowiedź

Liczba k jest równa 7. Odpowiedź C.

\[k=7\]

Sprawdzenie

Dla k równego 7 wartość funkcji w punkcie 2 wynosi 0.

\[f(2)=2\cdot 2^2-7\cdot 2+6=8-14+6=0\]

Zadanie 12.1

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}\frac{4}{3}x+\frac{14}{3} & \text{dla }x\in[-5,-2),\\\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} & \text{dla }x\in[-2,2],\\-3x+9 & \text{dla }x\in(2,4).\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Funkcja $f$ ma dokładnie ……… miejsca zerowe.
Funkcja $f$ osiąga największą wartość dla argumentu ……… .

Wykres funkcji y = f(x) w układzie współrzędnych, z oznaczonymi końcami odcinków.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Przyrównujemy każdy wzór funkcji do zera i sprawdzamy, czy otrzymany argument należy do odpowiedniego przedziału.

\[\frac{4}{3}x+\frac{14}{3}=0\Rightarrow x=-\frac{7}{2}\in[-5,-2),\qquad \frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0\Rightarrow x=-2\in[-2,2],\qquad -3x+9=0\Rightarrow x=3\in(2,4).\]

2 Wyznaczenie argumentu największej wartości

Pierwszy i drugi odcinek rosną, a trzeci maleje. Najwyższy punkt wykresu ma więc argument 2.

\[f(2)=\frac{3}{4}\cdot2+\frac{3}{2}=3.\]

Odpowiedź

Funkcja ma dokładnie 3 miejsca zerowe. Największą wartość osiąga dla argumentu 2.

\[3;\quad x=2\]

Sprawdzenie

Wszystkie trzy miejsca zerowe należą do przedziałów, w których obowiązują użyte wzory. Na pierwszym odcinku wartości są mniejsze od 2, na trzecim mniejsze od 3, a na środkowym wartość 3 jest osiągana w punkcie x=2.

\[f\left(-\frac{7}{2}\right)=f(-2)=f(3)=0,\qquad f(2)=3\]

Zadanie 12.2

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}\frac{4}{3}x+\frac{14}{3} & \text{dla } x\in[-5,-2),\\\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} & \text{dla } x\in[-2,2],\\-3x+9 & \text{dla } x\in(2,4).\end{cases}\]

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział ………………… .
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział ………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi końcami odcinków

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Dziedzina

Łączymy przedziały, na których określono trzy części funkcji.

\[D_f=[-5,-2)\cup[-2,2]\cup(2,4)=[-5,4)\]

2 Wartości nieujemne

W każdym przedziale rozwiązujemy nierówność dla odpowiedniego wzoru i uwzględniamy zakres jego obowiązywania.

\[\begin{aligned}\frac43x+\frac{14}{3}\geq0&\iff x\geq-\frac72 &&\Rightarrow x\in\left[-\frac72,-2\right),\\\frac34x+\frac32\geq0&\iff x\geq-2 &&\Rightarrow x\in[-2,2],\\-3x+9\geq0&\iff x\leq3 &&\Rightarrow x\in(2,3].\end{aligned}\]

3 Połączenie wyników

Wszystkie otrzymane przedziały łączą się w jeden przedział.

\[\left[-\frac72,-2\right)\cup[-2,2]\cup(2,3]=\left[-\frac72,3\right]\]

Odpowiedź

1. Dziedzina: [−5, 4). 2. Przedział argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne: [−7/2, 3].

\[D_f=[-5,4),\qquad\{x:f(x)\geq0\}=\left[-\frac72,3\right]\]

Sprawdzenie

Na krańcach przedziału wartości nieujemnych funkcja ma wartość 0. Ponadto f(2) = 3, więc punkt 2 należy do tego przedziału. Wartość f(−5) jest ujemna, a punkt 4 nie należy do dziedziny. Uwaga z kontroli poprzedniej próby jest poprawna: f(2) nie jest równe 0.

\[f\left(-\frac72\right)=0,\quad f(-2)=0,\quad f(2)=3,\quad f(3)=0,\quad f(-5)=-2,\quad 4\notin D_f\]

Zadanie 13.1

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(-3,7)$.

Liczba $t$ spełnia warunki: $f(t)=f(-9)$ oraz $t\ne -9$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $t$ jest równa

$3$

$9$

$15$

$21$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz funkcję w postaci kanonicznej

Wierzchołek $(-3,7)$ wyznacza postać funkcji kwadratowej, przy czym $a\ne 0$.

\[f(x)=a(x+3)^2+7,\quad a\ne 0\]

2 Wyznacz drugie rozwiązanie

Podstawiamy warunek $f(t)=f(-9)$ i dzielimy przez niezerowe $a$.

\[a(t+3)^2+7=a(-6)^2+7\;\Longrightarrow\;(t+3)^2=36\;\Longrightarrow\;t=-9\text{ lub }t=3\]

Odpowiedź

Ponieważ t ≠ −9, otrzymujemy t = 3. Odpowiedź A.

\[t=3\]

Sprawdzenie

Dla t = 3 oba argumenty są jednakowo odległe od osi symetrii x = −3; bezpośrednie podstawienie daje tę samą wartość funkcji. Spełniony jest też warunek t ≠ −9.

\[f(3)=a\cdot 6^2+7=36a+7=f(-9),\quad 3\ne-9\]

Zadanie 13.2

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(-3,7)$.

Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g(x)=f(x-5)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne

$(-8,7)$

$(-3,2)$

$(-3,12)$

$(2,7)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal przesunięcie

Zastąpienie argumentu funkcji $f$ przez $x-5$ przesuwa jej wykres o 5 jednostek w prawo.

\[g(x)=f(x-5)\]

2 Oblicz współrzędne wierzchołka

Do współrzędnej poziomej wierzchołka dodajemy 5, a współrzędna pionowa pozostaje taka sama.

\[W_g=(-3+5,7)=(2,7)\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: wierzchołek ma współrzędne $(2,7)$.

\[W_g=(2,7)\]

Sprawdzenie

Dla $x=2$ funkcja $g$ przyjmuje wartość funkcji $f$ w jej wierzchołku, bo $2-5=-3$. Potwierdza to współrzędną pionową równą 7.

\[g(2)=f(2-5)=f(-3)=7\]

Zadanie 14.1

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

\[\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=a_n-6\end{cases}\quad\text{dla każdej liczby naturalnej }n\geq 1.\]

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Piąty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

$(-4)$

$(-16)$

$(-22)$

$(-28)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kolejnych wyrazów

Z definicji ciągu każdy następny wyraz jest o 6 mniejszy od poprzedniego. Od pierwszego do piątego wyrazu wykonujemy cztery takie odejmowania.

\[a_2=2-6=-4,\quad a_3=-4-6=-10,\quad a_4=-10-6=-16,\quad a_5=-16-6=-22\]

Odpowiedź

Piąty wyraz ciągu wynosi −22. Odpowiedź C.

\[a_5=-22\]

Sprawdzenie

Różnica między czwartym a piątym wyrazem wynosi −6, zgodnie z definicją ciągu.

\[a_5-a_4=-22-(-16)=-6\]

Zadanie 14.2

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

\[\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=a_n-6\end{cases}\quad\text{dla każdej liczby naturalnej }n\geq 1.\]

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.	P	F
Ciąg $(a_n)$ jest malejący.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rodzaj ciągu

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała. Z podanego wzoru rekurencyjnego wynosi ona zawsze −6.

\[a_{n+1}-a_n=-6\]

2 Monotoniczność

Różnica jest ujemna dla każdego n ≥ 1, więc każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.

\[a_{n+1}=a_n-6<a_n\]

Odpowiedź

Ciąg jest arytmetyczny — P. Ciąg jest malejący — P.

\[\boxed{\text{P, P}}\]

Sprawdzenie

Wzór ogólny daje pierwszy wyraz równy 2 oraz różnicę kolejnych wyrazów równą −6 dla każdego n ≥ 1, co potwierdza obie odpowiedzi.

\[a_n=2-6(n-1),\quad a_1=2,\quad a_{n+1}-a_n=-6<0\]

Zadanie 15

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Czterowyrazowy ciąg $(7, a_2, a_3, a_4)$ jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $54$.

Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o tę samą różnicę $r$. Zapisujemy sumę czterech wyrazów i obliczamy $r$.

\[7+(7+r)+(7+2r)+(7+3r)=54\quad\Rightarrow\quad 28+6r=54\quad\Rightarrow\quad r=\frac{13}{3}\]

2 Obliczenie drugiego wyrazu

Do pierwszego wyrazu dodajemy obliczoną różnicę.

\[a_2=7+\frac{13}{3}=\frac{34}{3}\]

Odpowiedź

Drugi wyraz ciągu wynosi $\frac{34}{3}$.

\[a_2=\frac{34}{3}\]

Sprawdzenie

Kolejne wyrazy otrzymane przez dodawanie różnicy $\frac{13}{3}$ sumują się do $54$.

\[7+\frac{34}{3}+\frac{47}{3}+20=54\]

Zadanie 16

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Pięciowyrazowy ciąg $(a_1, a_2, 2, a_4, a_5)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn $a_1\cdot a_2\cdot 2\cdot a_4\cdot a_5$ jest równy

$2$

$16$

$32$

$64$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz wyrazy symetryczne

W ciągu geometrycznym iloczyn wyrazów jednakowo oddalonych od środka jest kwadratem wyrazu środkowego.

\[a_1a_5=a_2a_4=a_3^2=2^2=4\]

2 Oblicz iloczyn

Grupujemy wyrazy w pary i uwzględniamy wyraz środkowy.

\[a_1a_2\cdot2\cdot a_4a_5=(a_1a_5)(a_2a_4)\cdot2=4\cdot4\cdot2=32\]

Odpowiedź

C. Iloczyn jest równy 32.

\[32\]

Sprawdzenie

Ponieważ trzeci wyraz wynosi 2, iloraz ciągu jest niezerowy. Zapisanie wyrazów za pomocą ilorazu potwierdza, że iloczyn zawsze wynosi 32.

\[\frac{2}{q^2}\cdot\frac{2}{q}\cdot2\cdot2q\cdot2q^2=32\quad(q\ne0)\]

Zadanie 17

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie $\alpha$, że $\sin\alpha=\frac{1}{4}$. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość $8$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

$1$

$2$

$4$

$2\sqrt{15}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przyprostokątnej

Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Oznaczając tę przyprostokątną przez $a$, obliczamy jej długość.

\[\sin\alpha=\frac{a}{8}=\frac{1}{4},\qquad a=8\cdot\frac{1}{4}=2\]

2 Porównanie przyprostokątnych

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugą przyprostokątną, aby ustalić, która jest krótsza.

\[b=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}>2\]

Odpowiedź

Krótsza przyprostokątna ma długość 2. Odpowiedź B.

\[2\]

Sprawdzenie

Dla przyprostokątnej długości 2 i przeciwprostokątnej długości 8 sinus kąta naprzeciw tej przyprostokątnej wynosi $\frac{1}{4}$. Druga przyprostokątna jest dłuższa od 2.

\[\frac{2}{8}=\frac{1}{4},\qquad 2^2+(2\sqrt{15})^2=4+60=64=8^2\]

Zadanie 18

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Odcinek $BD$ jest średnicą tego okręgu oraz $|\angle ABD|=18^\circ$. Punkt $D$ leży na krótszym łuku $CA$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $BCA$ jest równa

Okrąg o środku S z punktami B, C, D i A na obwodzie. Odcinek BD jest średnicą; zaznaczono kąt ABD równy 18° oraz kąt BCA.

$36^\circ$

$60^\circ$

$72^\circ$

$81^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt oparty na średnicy

Kąt wpisany BAD opiera się na średnicy BD, więc jest prosty.

\[|\angle BAD|=90^\circ\]

2 Kąt w trójkącie ABD

Suma kątów w trójkącie wynosi 180°, zatem obliczamy kąt BDA.

\[|\angle BDA|=180^\circ-90^\circ-18^\circ=72^\circ\]

3 Kąty oparte na tym samym łuku

Kąty BDA i BCA są oparte na tym samym łuku BA, więc mają równe miary.

\[|\angle BCA|=|\angle BDA|=72^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BCA ma miarę 72°. Poprawna odpowiedź: C.

\[|\angle BCA|=72^\circ\]

Sprawdzenie

Obliczone kąty trójkąta ABD sumują się do 180°, a wynik 72° jest kątem ostrym.

\[90^\circ+18^\circ+72^\circ=180^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie $A$ przecięto dwiema prostymi równoległymi $k$ oraz $l$. Prosta $k$ przecina ramiona tego kąta w punktach $B$ oraz $C$. Prosta $l$ przecina ramiona tego kąta w punktach $D$ oraz $E$. Punkty $B$ oraz $D$ leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty $C$ oraz $E$ leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto $|AB|=6$, $|BC|=4$ oraz $|BD|=2$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $DE$ ma długość

Rysunek kąta o wierzchołku A przeciętego równoległymi prostymi k i l. Na ramionach zaznaczono punkty B, C, D, E oraz długości AB = 6, BC = 4 i BD = 2.

$\frac{8}{3}$

$\frac{16}{3}$

$6$

$8$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości AD

Punkty A, B i D leżą kolejno na jednym ramieniu kąta, więc dodajemy długości odcinków AB i BD.

\[|AD|=|AB|+|BD|=6+2=8\]

2 Zastosowanie podobieństwa trójkątów

Ponieważ k i l są równoległe, trójkąty ABC i ADE są podobne. Odpowiadające sobie boki są proporcjonalne.

\[\frac{|DE|}{|BC|}=\frac{|AD|}{|AB|},\qquad |DE|=4\cdot\frac{8}{6}=\frac{16}{3}\]

Odpowiedź

Odcinek DE ma długość 16/3. Odpowiedź B.

\[|DE|=\frac{16}{3}\]

Sprawdzenie

Stosunek długości DE do BC wynosi 4/3, tyle samo co stosunek AD do AB.

\[\frac{\frac{16}{3}}{4}=\frac{4}{3}=\frac{8}{6}\]

Zadanie 20

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $AB$, a punkt $E$ leży na boku $AC$. Odcinek $BE$ jest środkową trójkąta $ABC$, a odcinek $CD$ jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki $DB$ oraz $DE$ mają równe długości (zobacz rysunek).

Wykaż, że $|\angle CAB|=2\cdot|\angle ABE|$.

Trójkąt ABC z punktami D na boku AB i E na boku AC; zaznaczono odcinki BE, CD, DE i DB oraz kąty przy A i B.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równe odcinki w trójkącie ACD

Ponieważ CD jest wysokością, trójkąt ACD jest prostokątny. Punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej AC, gdyż BE jest środkową. Zatem E jest jednakowo odległy od A, C i D.

\[AE=DE=CE\]

2 Kąt przy D

Z równości AE=DE wynika, że trójkąt ADE jest równoramienny. Jeśli oznaczymy kąt CAB przez \alpha, to kąt ADE również ma miarę \alpha.

\[|\angle ADE|=|\angle EAD|=|\angle CAB|=\alpha\]

3 Kąty w trójkącie BDE

Z założenia DB=DE, więc kąty przy podstawie BE są równe. Kąt EBD to kąt ABE; oznaczmy jego miarę przez \beta. Kąty ADE i BDE są przyległe.

4 Suma kątów

Dodajemy kąty trójkąta BDE i upraszczamy otrzymaną równość.

\[\beta+\beta+(180^\circ-\alpha)=180^\circ\quad\Longrightarrow\quad\alpha=2\beta\]

Odpowiedź

Wykazano, że miara kąta CAB jest dwukrotnością miary kąta ABE.

\[|\angle CAB|=2|\angle ABE|\]

Sprawdzenie

Ponieważ trójkąt ABC jest ostrokątny, α leży między 0° a 90°, więc β=α/2 leży między 0° a 45°. Wyznaczone kąty trójkąta BDE są dodatnie i ich suma wynosi 180°.

\[\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}+(180^\circ-\alpha)=180^\circ\]

Zadanie 21

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin\alpha=\frac{3}{5}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze $\alpha$ jest równy

$\left(-\frac{4}{5}\right)$

$\left(-\frac{3}{4}\right)$

$\frac{3}{4}$

$\frac{4}{5}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości bezwzględnej cosinusa

Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej, aby wyznaczyć kwadrat cosinusa.

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\quad \cos^2\alpha=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}\]

2 Ustalenie znaku

Cosinus kąta rozwartego jest ujemny, więc wybieramy ujemny pierwiastek.

\[\cos\alpha=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}\]

Odpowiedź

A. Cosinus kąta α jest równy −4/5.

\[\cos\alpha=-\frac{4}{5}\]

Sprawdzenie

Otrzymane wartości spełniają tożsamość trygonometryczną, a ujemny znak cosinusa odpowiada kątowi rozwartemu.

\[\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(-\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1\]

Zadanie 22

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $D=(6,19)$. Bok $AB$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y=\frac{1}{2}x+9$, a bok $AD$ zawiera się w prostej o równaniu $y=4x-5$. Punkt $K=(10,14)$ jest środkiem odcinka $AB$. Przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $S$.

Oblicz współrzędne punktu $S$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu A

Punkt A należy do obu prostych zawierających boki AB i AD, więc jego współrzędne spełniają oba równania.

\[\frac{1}{2}x+9=4x-5\quad\Rightarrow\quad 14=\frac{7}{2}x\quad\Rightarrow\quad x=4,\qquad y=4\cdot4-5=11.\]

2 Wyznaczenie punktu B

Punkt K jest środkiem odcinka AB, dlatego z jego współrzędnych i współrzędnych A obliczamy B.

\[\left(\frac{4+x_B}{2},\frac{11+y_B}{2}\right)=(10,14)\quad\Rightarrow\quad x_B=16,\ y_B=17.\]

3 Wyznaczenie punktu S

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc S jest środkiem przekątnej BD.

\[S=\left(\frac{16+6}{2},\frac{17+19}{2}\right)=(11,18).\]

Odpowiedź

Punkt S ma współrzędne (11,18).

\[S=(11,18)\]

Sprawdzenie

Punkt B=(16,17) leży na prostej AB, ponieważ połowa z 16 plus 9 daje 17. Środek odcinka BD o końcach (16,17) i (6,19) ma współrzędne (11,18).

\[\frac{1}{2}\cdot16+9=17,\qquad \left(\frac{16+6}{2},\frac{17+19}{2}\right)=(11,18).\]

Zadanie 23

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(-3,1)$ oraz $B=(1,-3)$ są kolejnymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód kwadratu $ABCD$ jest równy

$4\sqrt{2}$

$16\sqrt{2}$

$16$

$32$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości boku

Punkty A i B są kolejnymi wierzchołkami, więc odcinek AB jest bokiem kwadratu. Jego długość obliczamy ze wzoru na odległość punktów.

\[|AB|=\sqrt{(1-(-3))^2+(-3-1)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2}\]

2 Obliczenie obwodu

Kwadrat ma cztery boki jednakowej długości, więc mnożymy długość AB przez 4.

\[O=4|AB|=4\cdot4\sqrt{2}=16\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Obwód wynosi 16√2. Odpowiedź B.

\[O=16\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Różnice współrzędnych wynoszą 4 i −4, zatem kwadrat długości boku to 16+16=32. Obliczona długość 4√2 również ma kwadrat równy 32.

\[(4\sqrt{2})^2=32=4^2+(-4)^2\]

Zadanie 24

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ odcinek o końcach $A=(1,1)$ oraz $B=(3,-1)$ jest średnicą okręgu $O$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $O$ jest określony równaniem

$(x-1)^2+(y-1)^2=8$

$x^2+(y-2)^2=2$

$(x-2)^2+y^2=2$

$(x-2)^2+y^2=8$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie środka

Środek okręgu jest środkiem odcinka będącego średnicą.

\[S=\left(\frac{1+3}{2},\frac{1+(-1)}{2}\right)=(2,0)\]

2 Obliczenie promienia

Promień jest odległością środka od końca średnicy.

\[r^2=(1-2)^2+(1-0)^2=2\]

3 Zapisanie równania

Podstawiamy współrzędne środka i kwadrat promienia do równania okręgu.

\[(x-2)^2+y^2=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[(x-2)^2+y^2=2\]

Sprawdzenie

Oba końce średnicy spełniają otrzymane równanie.

\[A:\ (1-2)^2+1^2=2,\qquad B:\ (3-2)^2+(-1)^2=2\]

Zadanie 25

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $12$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

$2\sqrt{3}$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{6}$

$6\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odległości środka podstawy od wierzchołka kwadratu

Jest to połowa przekątnej kwadratu o boku 12.

\[d=12\sqrt{2},\qquad r=\frac{d}{2}=6\sqrt{2}\]

2 Obliczenie wysokości

Wysokość, odcinek o długości r i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[h^2+(6\sqrt{2})^2=12^2,\qquad h=\sqrt{144-72}=6\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Wysokość wynosi $6\sqrt{2}$. Odpowiedź D.

\[h=6\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Otrzymana wysokość jest dodatnia, a suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi krawędzi bocznej.

\[(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=72+72=144=12^2\]

Zadanie 26

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka o promieniu podstawy $3$ ma długość $6$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.	P	F
Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60^\circ$.	P	F

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie pól

Pole powierzchni bocznej stożka obliczamy ze wzoru $P_b=\pi rl$, a pole podstawy ze wzoru $P_p=\pi r^2$. Ich iloraz pozwala ocenić pierwsze stwierdzenie.

\[P_b=\pi\cdot3\cdot6=18\pi,\quad P_p=\pi\cdot3^2=9\pi,\quad P_b=2P_p\]

2 Kąt rozwarcia

Przekrój osiowy tworzy trójkąt równoramienny. Jego wysokość dzieli kąt rozwarcia $\alpha$ na połowy, a w powstałym trójkącie prostokątnym promień jest przyprostokątną naprzeciw kąta $\frac{\alpha}{2}$.

\[\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{l}=\frac{3}{6}=\frac12,\quad \frac{\alpha}{2}=30^\circ,\quad \alpha=60^\circ\]

Odpowiedź

Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: P.

\[P_b=2P_p,\quad \alpha=60^\circ\]

Sprawdzenie

Iloraz pól wynosi 2. W przekroju osiowym połowa kąta 60° wynosi 30°, a sinus tego kąta jest równy stosunkowi promienia do tworzącej, czyli 1/2.

\[\frac{18\pi}{9\pi}=2,\quad \sin30^\circ=\frac12=\frac36\]

Zadanie 27

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Odcinek $AD$ jest wysokością walca, a odcinek $AB$ jest średnicą podstawy walca. Odcinek $BD$ ma długość $4\sqrt{3}$. Miara kąta $ABD$ jest równa $30^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.

$Walec z zaznaczonym trójkątem ABD. AD jest wysokością walca, AB średnicą podstawy, BD ma długość $4\sqrt{3}$, a kąt ABD ma miarę $30^\circ$.$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości i promienia

Wysokość walca AD jest prostopadła do średnicy podstawy AB, więc trójkąt ABD jest prostokątny w A. Z definicji sinusa i cosinusa kąta 30° obliczamy jego przyprostokątne, a promień jest połową średnicy.

\[AD=BD\sin 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac12=2\sqrt{3},\quad AB=BD\cos 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}2=6,\quad r=\frac{AB}{2}=3\]

2 Obliczenie objętości

Objętość walca to pole podstawy pomnożone przez wysokość.

\[V=\pi r^2h=\pi\cdot 3^2\cdot 2\sqrt{3}=18\sqrt{3}\pi\]

3 Obliczenie pola powierzchni całkowitej

Dodajemy pola dwóch podstaw i powierzchni bocznej walca.

\[P_c=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\cdot 3^2+2\pi\cdot 3\cdot 2\sqrt{3}=(18+12\sqrt{3})\pi\]

Odpowiedź

Objętość walca wynosi $18\sqrt{3}\pi$ jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi $(18+12\sqrt{3})\pi$ jednostek kwadratowych.

\[V=18\sqrt{3}\pi,\qquad P_c=(18+12\sqrt{3})\pi\]

Sprawdzenie

Obliczone długości spełniają twierdzenie Pitagorasa, a stosunek wysokości do średnicy daje wymagany kąt 30°.

\[(2\sqrt{3})^2+6^2=12+36=48=(4\sqrt{3})^2,\qquad \frac{AD}{BD}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac12=\sin 30^\circ\]

Zadanie 28

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

$400$

$500$

$900$

$1600$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór skrajnych cyfr

Liczba jest parzysta, więc cyfra jedności musi być parzysta. Jest równa cyfrze tysięcy, która w liczbie czterocyfrowej nie może być zerem. Mamy zatem cztery możliwości.

\[(2,2),\ (4,4),\ (6,6),\ (8,8)\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfrę setek i cyfrę dziesiątek wybieramy niezależnie, każdą na 10 sposobów. Mnożymy liczby możliwości.

\[4\cdot 10\cdot 10=400\]

Odpowiedź

A. Takich liczb jest 400.

\[400\]

Sprawdzenie

Dla każdej z czterech możliwych par skrajnych cyfr istnieje dokładnie 100 ustawień dwóch środkowych cyfr. Każda otrzymana liczba jest czterocyfrowa i parzysta, więc łącznie jest ich 400.

\[4\cdot 100=400\]

Zadanie 29

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to $9$ lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to $13$ lat.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy

$10$

$10{,}5$

$11$

$11{,}5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie liczby uczniów

Przyjmujemy, że w drugiej szkole jest $n$ uczniów, gdzie $n>0$. W pierwszej jest ich trzy razy więcej.

\[N_2=n,\qquad N_1=3n\]

2 Obliczenie średniej ważonej

Sumę wieku uczniów każdej szkoły otrzymujemy, mnożąc średni wiek przez liczbę uczniów. Łączną sumę wieku dzielimy przez liczbę wszystkich uczniów.

\[\overline{x}=\frac{9\cdot 3n+13\cdot n}{3n+n}=\frac{40n}{4n}=10\ \text{lat}\]

Odpowiedź

Średni wiek wynosi 10 lat. Odpowiedź A.

\[\boxed{10\ \text{lat}\quad\text{A}}\]

Sprawdzenie

Średnia 10 lat jest poprawna: w pierwszej szkole średni wiek jest o 1 rok niższy, a w drugiej o 3 lata wyższy. Ponieważ pierwsza szkoła ma trzy razy więcej uczniów, te różnice się równoważą.

\[3n(9-10)+n(13-10)=-3n+3n=0\]

Zadanie 30

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Diagram słupkowy wyników sprawdzianu. Oś pozioma: ocena od 1 do 6. Oś pionowa: liczba uczniów od 0 do 8. Wysokości słupków dla ocen 1–6 wynoszą odpowiednio 2, 1, 6, 5, 7 i 5.

$3$

$3{,}5$

$4$

$5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba uczniów

Dodajemy liczby uczniów odczytane z kolejnych słupków, aby ustalić środkowe pozycje w uporządkowanym zbiorze ocen.

\[2+1+6+5+7+5=26\]

2 Środkowe oceny

Przy 26 wynikach mediana jest średnią 13. i 14. oceny. Do oceny 3 włącznie jest 9 wyników, a do oceny 4 włącznie — 14, więc obie środkowe oceny to 4.

\[2+1+6=9,\qquad 9+5=14,\qquad M=\frac{4+4}{2}=4\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 4. Odpowiedź C.

\[M=4\]

Sprawdzenie

Ocena 4 zajmuje miejsca od 10. do 14. w uporządkowanym zbiorze, więc zarówno 13., jak i 14. wynik to 4.

\[10\leqslant 13<14\leqslant 14\]

Zadanie 31

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dany jest sześcioelementowy zbiór $K=\{2,3,4,5,6,7\}$. Ze zbioru $K$ losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od $16$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wszystkich wyników

Kolejność losowania ma znaczenie, a drugiej liczby nie można wylosować ponownie.

\[|\Omega|=6\cdot5=30\]

2 Policzenie wyników sprzyjających

Pierwsza liczba musi być parzysta. Dla każdej z liczb 2, 4 i 6 wybieramy drugą liczbę tak, aby iloczyn był większy od 16.

\[2y>16:\ 0\text{ możliwości};\qquad 4y>16:\ y\in\{5,6,7\};\qquad 6y>16:\ y\in\{3,4,5,7\}.\quad |A|=0+3+4=7\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{7}{30}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 7/30.

\[P(A)=\frac{7}{30}\]

Sprawdzenie

Pary spełniające warunki to (4,5), (4,6), (4,7), (6,3), (6,4), (6,5) i (6,7). Jest ich 7; w każdej pierwsza liczba jest parzysta, liczby są różne, a iloczyn przekracza 16.

\[4\cdot5=20>16,\quad 6\cdot3=18>16,\quad 0<\frac{7}{30}<1\]

Zadanie 32

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $4$. Rozważamy wszystkie trójkąty $DEF$ spełniające jednocześnie następujące warunki:

punkt $E$ leży na boku $AB$ kwadratu $ABCD$
punkt $F$ leży na boku $BC$ kwadratu $ABCD$
$|CF|=\frac{1}{2}\cdot|EB|=x$, gdzie $x\in(0,2)$ (zobacz rysunek).

Niech $P(x)$ oznacza pole trójkąta $DEF$ w zależności od długości $x$ odcinka $CF$.

Wyznacz wzór funkcji $P$ zmiennej $x$, gdzie $x\in(0,2)$. Oblicz długość $x$ odcinka $CF$, dla której pole trójkąta $DEF$ jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.

Kwadrat ABCD o boku 4. Punkt E leży na boku AB, punkt F na boku BC. Odcinek EB oznaczono jako 2x, a CF jako x. Wewnątrz kwadratu zaznaczono trójkąt DEF.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długości odcinków

Od boku kwadratu odejmujemy długości podanych odcinków.

\[|AE|=4-2x,\qquad |BF|=4-x\]

2 Pole trójkąta

Od pola kwadratu odejmujemy pola trzech trójkątów prostokątnych leżących poza trójkątem DEF.

\[\begin{aligned}P(x)&=16-\frac{4(4-2x)}{2}-\frac{4x}{2}-\frac{2x(4-x)}{2}\\&=x^2-2x+8,\qquad x\in(0,2).\end{aligned}\]

3 Najmniejsze pole

Po uzupełnieniu kwadratu wyrażenie jest najmniejsze, gdy jego nieujemny składnik jest równy zeru.

\[P(x)=(x-1)^2+7\geq 7;\qquad x=1\in(0,2).\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to P(x)=x²−2x+8 dla x∈(0,2). Pole trójkąta DEF jest najmniejsze, gdy odcinek CF ma długość 1; wynosi wtedy 7.

\[P(x)=x^2-2x+8,\quad x\in(0,2);\qquad |CF|=1,\quad P_{\min}=7\]

Sprawdzenie

Dla x=1 odcinki EB i CF mają długości odpowiednio 2 i 1, zgodnie z warunkiem. Pola trzech odjętych trójkątów wynoszą 4, 2 i 3, więc pole DEF wynosi 16−4−2−3=7.

\[\frac{4\cdot2}{2}=4,\quad\frac{4\cdot1}{2}=2,\quad\frac{2\cdot3}{2}=3;\qquad 16-4-2-3=7\]

Funkcja \(f\) jest rosnąca.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,4)\).	P	F

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.	P	F
Ciąg \((a_n)\) jest malejący.	P	F

Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.	P	F
Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(60^\circ\).	P	F