Zamknięte1 pkt
Tworząca stożka o promieniu podstawy \(3\) ma długość \(6\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy. | P | F |
| Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(60^\circ\). | P | F |
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Porównanie pól
Pole powierzchni bocznej stożka obliczamy ze wzoru \(P_b=\pi rl\), a pole podstawy ze wzoru \(P_p=\pi r^2\). Ich iloraz pozwala ocenić pierwsze stwierdzenie.
\[P_b=\pi\cdot3\cdot6=18\pi,\quad P_p=\pi\cdot3^2=9\pi,\quad P_b=2P_p\]
2 Kąt rozwarcia
Przekrój osiowy tworzy trójkąt równoramienny. Jego wysokość dzieli kąt rozwarcia \(\alpha\) na połowy, a w powstałym trójkącie prostokątnym promień jest przyprostokątną naprzeciw kąta \(\frac{\alpha}{2}\).
\[\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{l}=\frac{3}{6}=\frac12,\quad \frac{\alpha}{2}=30^\circ,\quad \alpha=60^\circ\]
Odpowiedź
Pierwsze stwierdzenie: P. Drugie stwierdzenie: P.
\[P_b=2P_p,\quad \alpha=60^\circ\]
Sprawdzenie
Iloraz pól wynosi 2. W przekroju osiowym połowa kąta 60° wynosi 30°, a sinus tego kąta jest równy stosunkowi promienia do tworzącej, czyli 1/2.
\[\frac{18\pi}{9\pi}=2,\quad \sin30^\circ=\frac12=\frac36\]