Zadanie 27 — matura 2026, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Odcinek $AD$ jest wysokością walca, a odcinek $AB$ jest średnicą podstawy walca. Odcinek $BD$ ma długość $4\sqrt{3}$. Miara kąta $ABD$ jest równa $30^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.

$Walec z zaznaczonym trójkątem ABD. AD jest wysokością walca, AB średnicą podstawy, BD ma długość $4\sqrt{3}$, a kąt ABD ma miarę $30^\circ$.$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości i promienia

Wysokość walca AD jest prostopadła do średnicy podstawy AB, więc trójkąt ABD jest prostokątny w A. Z definicji sinusa i cosinusa kąta 30° obliczamy jego przyprostokątne, a promień jest połową średnicy.

\[AD=BD\sin 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac12=2\sqrt{3},\quad AB=BD\cos 30^\circ=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}2=6,\quad r=\frac{AB}{2}=3\]

2 Obliczenie objętości

Objętość walca to pole podstawy pomnożone przez wysokość.

\[V=\pi r^2h=\pi\cdot 3^2\cdot 2\sqrt{3}=18\sqrt{3}\pi\]

3 Obliczenie pola powierzchni całkowitej

Dodajemy pola dwóch podstaw i powierzchni bocznej walca.

\[P_c=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\cdot 3^2+2\pi\cdot 3\cdot 2\sqrt{3}=(18+12\sqrt{3})\pi\]

Odpowiedź

Objętość walca wynosi $18\sqrt{3}\pi$ jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi $(18+12\sqrt{3})\pi$ jednostek kwadratowych.

\[V=18\sqrt{3}\pi,\qquad P_c=(18+12\sqrt{3})\pi\]

Sprawdzenie

Obliczone długości spełniają twierdzenie Pitagorasa, a stosunek wysokości do średnicy daje wymagany kąt 30°.

\[(2\sqrt{3})^2+6^2=12+36=48=(4\sqrt{3})^2,\qquad \frac{AD}{BD}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac12=\sin 30^\circ\]