Zadanie 32 — matura 2026, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte3 pkt

Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\). Rozważamy wszystkie trójkąty \(DEF\) spełniające jednocześnie następujące warunki:

punkt \(E\) leży na boku \(AB\) kwadratu \(ABCD\)
punkt \(F\) leży na boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\)
\(|CF|=\frac{1}{2}\cdot|EB|=x\), gdzie \(x\in(0,2)\) (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza pole trójkąta \(DEF\) w zależności od długości \(x\) odcinka \(CF\).

Wyznacz wzór funkcji \(P\) zmiennej \(x\), gdzie \(x\in(0,2)\). Oblicz długość \(x\) odcinka \(CF\), dla której pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.

Kwadrat ABCD o boku 4. Punkt E leży na boku AB, punkt F na boku BC. Odcinek EB oznaczono jako 2x, a CF jako x. Wewnątrz kwadratu zaznaczono trójkąt DEF.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długości odcinków

Od boku kwadratu odejmujemy długości podanych odcinków.

\[|AE|=4-2x,\qquad |BF|=4-x\]

2 Pole trójkąta

Od pola kwadratu odejmujemy pola trzech trójkątów prostokątnych leżących poza trójkątem DEF.

\[\begin{aligned}P(x)&=16-\frac{4(4-2x)}{2}-\frac{4x}{2}-\frac{2x(4-x)}{2}\\&=x^2-2x+8,\qquad x\in(0,2).\end{aligned}\]

3 Najmniejsze pole

Po uzupełnieniu kwadratu wyrażenie jest najmniejsze, gdy jego nieujemny składnik jest równy zeru.

\[P(x)=(x-1)^2+7\geq 7;\qquad x=1\in(0,2).\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to P(x)=x²−2x+8 dla x∈(0,2). Pole trójkąta DEF jest najmniejsze, gdy odcinek CF ma długość 1; wynosi wtedy 7.

\[P(x)=x^2-2x+8,\quad x\in(0,2);\qquad |CF|=1,\quad P_{\min}=7\]

Sprawdzenie

Dla x=1 odcinki EB i CF mają długości odpowiednio 2 i 1, zgodnie z warunkiem. Pola trzech odjętych trójkątów wynoszą 4, 2 i 3, więc pole DEF wynosi 16−4−2−3=7.

\[\frac{4\cdot2}{2}=4,\quad\frac{4\cdot1}{2}=2,\quad\frac{2\cdot3}{2}=3;\qquad 16-4-2-3=7\]