Zadanie 20 — matura 2026, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(AB\), a punkt \(E\) leży na boku \(AC\). Odcinek \(BE\) jest środkową trójkąta \(ABC\), a odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki \(DB\) oraz \(DE\) mają równe długości (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(|\angle CAB|=2\cdot|\angle ABE|\).

Trójkąt ABC z punktami D na boku AB i E na boku AC; zaznaczono odcinki BE, CD, DE i DB oraz kąty przy A i B.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równe odcinki w trójkącie ACD

Ponieważ CD jest wysokością, trójkąt ACD jest prostokątny. Punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej AC, gdyż BE jest środkową. Zatem E jest jednakowo odległy od A, C i D.

\[AE=DE=CE\]

2 Kąt przy D

Z równości AE=DE wynika, że trójkąt ADE jest równoramienny. Jeśli oznaczymy kąt CAB przez \alpha, to kąt ADE również ma miarę \alpha.

\[|\angle ADE|=|\angle EAD|=|\angle CAB|=\alpha\]

3 Kąty w trójkącie BDE

Z założenia DB=DE, więc kąty przy podstawie BE są równe. Kąt EBD to kąt ABE; oznaczmy jego miarę przez \beta. Kąty ADE i BDE są przyległe.

4 Suma kątów

Dodajemy kąty trójkąta BDE i upraszczamy otrzymaną równość.

\[\beta+\beta+(180^\circ-\alpha)=180^\circ\quad\Longrightarrow\quad\alpha=2\beta\]

Odpowiedź

Wykazano, że miara kąta CAB jest dwukrotnością miary kąta ABE.

\[|\angle CAB|=2|\angle ABE|\]

Sprawdzenie

Ponieważ trójkąt ABC jest ostrokątny, α leży między 0° a 90°, więc β=α/2 leży między 0° a 45°. Wyznaczone kąty trójkąta BDE są dodatnie i ich suma wynosi 180°.

\[\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}+(180^\circ-\alpha)=180^\circ\]