Zadanie 12.2 — matura 2026, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}\frac{4}{3}x+\frac{14}{3} & \text{dla } x\in[-5,-2),\\\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} & \text{dla } x\in[-2,2],\\-3x+9 & \text{dla } x\in(2,4).\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział ………………… .
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział ………………… .

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi końcami odcinków

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Dziedzina

Łączymy przedziały, na których określono trzy części funkcji.

\[D_f=[-5,-2)\cup[-2,2]\cup(2,4)=[-5,4)\]

2 Wartości nieujemne

W każdym przedziale rozwiązujemy nierówność dla odpowiedniego wzoru i uwzględniamy zakres jego obowiązywania.

\[\begin{aligned}\frac43x+\frac{14}{3}\geq0&\iff x\geq-\frac72 &&\Rightarrow x\in\left[-\frac72,-2\right),\\\frac34x+\frac32\geq0&\iff x\geq-2 &&\Rightarrow x\in[-2,2],\\-3x+9\geq0&\iff x\leq3 &&\Rightarrow x\in(2,3].\end{aligned}\]

3 Połączenie wyników

Wszystkie otrzymane przedziały łączą się w jeden przedział.

\[\left[-\frac72,-2\right)\cup[-2,2]\cup(2,3]=\left[-\frac72,3\right]\]

Odpowiedź

1. Dziedzina: [−5, 4). 2. Przedział argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne: [−7/2, 3].

\[D_f=[-5,4),\qquad\{x:f(x)\geq0\}=\left[-\frac72,3\right]\]

Sprawdzenie

Na krańcach przedziału wartości nieujemnych funkcja ma wartość 0. Ponadto f(2) = 3, więc punkt 2 należy do tego przedziału. Wartość f(−5) jest ujemna, a punkt 4 nie należy do dziedziny. Uwaga z kontroli poprzedniej próby jest poprawna: f(2) nie jest równe 0.

\[f\left(-\frac72\right)=0,\quad f(-2)=0,\quad f(2)=3,\quad f(3)=0,\quad f(-5)=-2,\quad 4\notin D_f\]