Zadanie 12.1 — matura 2026, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2023

Matura 2026 · czerwiec · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[f(x)=\begin{cases}\frac{4}{3}x+\frac{14}{3} & \text{dla }x\in[-5,-2),\\\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} & \text{dla }x\in[-2,2],\\-3x+9 & \text{dla }x\in(2,4).\end{cases}\]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Funkcja \(f\) ma dokładnie ……… miejsca zerowe.
Funkcja \(f\) osiąga największą wartość dla argumentu ……… .

Wykres funkcji y = f(x) w układzie współrzędnych, z oznaczonymi końcami odcinków.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Przyrównujemy każdy wzór funkcji do zera i sprawdzamy, czy otrzymany argument należy do odpowiedniego przedziału.

\[\frac{4}{3}x+\frac{14}{3}=0\Rightarrow x=-\frac{7}{2}\in[-5,-2),\qquad \frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0\Rightarrow x=-2\in[-2,2],\qquad -3x+9=0\Rightarrow x=3\in(2,4).\]

2 Wyznaczenie argumentu największej wartości

Pierwszy i drugi odcinek rosną, a trzeci maleje. Najwyższy punkt wykresu ma więc argument 2.

\[f(2)=\frac{3}{4}\cdot2+\frac{3}{2}=3.\]

Odpowiedź

Funkcja ma dokładnie 3 miejsca zerowe. Największą wartość osiąga dla argumentu 2.

\[3;\quad x=2\]

Sprawdzenie

Wszystkie trzy miejsca zerowe należą do przedziałów, w których obowiązują użyte wzory. Na pierwszym odcinku wartości są mniejsze od 2, na trzecim mniejsze od 3, a na środkowym wartość 3 jest osiągana w punkcie x=2.

\[f\left(-\frac{7}{2}\right)=f(-2)=f(3)=0,\qquad f(2)=3\]