Zamknięte1 pkt
Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco:
\[\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=a_n-6\end{cases}\quad\text{dla każdej liczby naturalnej }n\geq 1.\]
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny. | P | F |
| Ciąg \((a_n)\) jest malejący. | P | F |
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Rodzaj ciągu
W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała. Z podanego wzoru rekurencyjnego wynosi ona zawsze −6.
\[a_{n+1}-a_n=-6\]
2 Monotoniczność
Różnica jest ujemna dla każdego n ≥ 1, więc każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.
\[a_{n+1}=a_n-6<a_n\]
Odpowiedź
Ciąg jest arytmetyczny — P. Ciąg jest malejący — P.
\[\boxed{\text{P, P}}\]
Sprawdzenie
Wzór ogólny daje pierwszy wyraz równy 2 oraz różnicę kolejnych wyrazów równą −6 dla każdego n ≥ 1, co potwierdza obie odpowiedzi.
\[a_n=2-6(n-1),\quad a_1=2,\quad a_{n+1}-a_n=-6<0\]