Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\geq 0\) liczba \(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\) jest podzielna przez 19.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyłącz wspólny czynnik
Każdy składnik zawiera czynnik 7^n, więc wyłączamy go przed nawias.
\[7^n+7^{n+1}+7^{n+2}=7^n(1+7+7^2)\]
2 Wykaż podzielność
Suma w nawiasie wynosi 57, czyli 19 razy 3. Ponieważ dla całkowitego n≥0 liczba 3·7^n jest całkowita, otrzymujemy wielokrotność 19.
\[7^n(1+7+49)=57\cdot 7^n=19\cdot(3\cdot 7^n)\]
Odpowiedź
Dla każdej liczby całkowitej n≥0 podana liczba jest podzielna przez 19.
\[19\mid\left(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\right)\]
Sprawdzenie
Dla n=0 suma wynosi 1+7+49=57=19·3. Dla każdego większego całkowitego n czynnik 3·7^n nadal jest liczbą całkowitą, więc wykazana postać pozostaje wielokrotnością 19.
\[7^0+7^1+7^2=57=19\cdot3\]