Zamknięte1 pkt
Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie \(\alpha\), że \(\sin\alpha=\frac{1}{4}\). Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość \(8\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość
A
\(1\)
B
\(2\)
C
\(4\)
D
\(2\sqrt{15}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie przyprostokątnej
Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Oznaczając tę przyprostokątną przez \(a\), obliczamy jej długość.
\[\sin\alpha=\frac{a}{8}=\frac{1}{4},\qquad a=8\cdot\frac{1}{4}=2\]
2 Porównanie przyprostokątnych
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugą przyprostokątną, aby ustalić, która jest krótsza.
\[b=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}>2\]
Odpowiedź
Krótsza przyprostokątna ma długość 2. Odpowiedź B.
\[2\]
Sprawdzenie
Dla przyprostokątnej długości 2 i przeciwprostokątnej długości 8 sinus kąta naprzeciw tej przyprostokątnej wynosi \(\frac{1}{4}\). Druga przyprostokątna jest dłuższa od 2.
\[\frac{2}{8}=\frac{1}{4},\qquad 2^2+(2\sqrt{15})^2=4+60=64=8^2\]