Otwarte3 pkt
Dane jest równanie \(\frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}\), gdzie \(x\neq 0\) i \(x\neq 1\).
Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału \(\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)\). Zapisz obliczenia.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Usuń mianowniki
Ponieważ \(x\neq 0\) i \(x\neq 1\), można pomnożyć obie strony przez \(3x(x-1)\).
\[3x(3x+4)=(x+3)(x-1)\]
2 Rozwiąż równanie kwadratowe
Rozwijamy nawiasy, przenosimy wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki.
\[9x^2+12x=x^2+2x-3\;\Longleftrightarrow\;8x^2+10x+3=0\;\Longleftrightarrow\;(4x+3)(2x+1)=0\]
3 Wybierz rozwiązanie z przedziału
Spośród dwóch pierwiastków tylko \(-\frac34\) jest mniejsze od \(-\frac23\).
\[x=-\frac34\ \text{lub}\ x=-\frac12,\qquad -\frac34<-\frac23<-\frac12\]
Odpowiedź
Jedynym rozwiązaniem należącym do podanego przedziału jest \(x=-\frac34\).
\[x=-\frac34\]
Sprawdzenie
Liczba \(-\frac34\) spełnia warunki dziedziny i należy do wskazanego przedziału. Po podstawieniu obie strony równania są równe \(-1\).
\[\frac{3\left(-\frac34\right)+4}{-\frac34-1}=-1=\frac{-\frac34+3}{3\left(-\frac34\right)}\]