Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2026

Poziom podstawowyCzerwiecFormuła 2015

Zobacz zadania i rozwiązania 34 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

34 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}\) jest równa

\((-2)\)

\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(\frac{1}{2}\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwiastków

Pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych są ujemne, ponieważ odpowiednie potęgi liczb ujemnych są ujemne.

\[\sqrt[3]{-64}=-4,\quad \sqrt[3]{27}=3,\quad \sqrt[5]{-32}=-2\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Podstawiamy obliczone pierwiastki i dzielimy.

\[\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}=\frac{-4+3}{-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Mianownik jest różny od zera, a potęgi obliczonych pierwiastków dają liczby pod pierwiastkami.

\[-2\ne 0,\quad (-4)^3=-64,\quad 3^3=27,\quad (-2)^5=-32\]

Zadanie 2

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{9^4}{3^{-20}}\) jest równa

\(9^{-24}\)

\(9^{-6}\)

\(9^{14}\)

\(9^{56}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz potęgi przy tej samej podstawie

Ponieważ \(9=3^2\), możemy zastosować regułę dzielenia potęg o tej samej podstawie.

\[\frac{9^4}{3^{-20}}=\frac{(3^2)^4}{3^{-20}}=\frac{3^8}{3^{-20}}\]

2 Oblicz wykładnik

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki, a następnie wracamy do podstawy \(9\).

\[\frac{3^8}{3^{-20}}=3^{8-(-20)}=3^{28}=(3^2)^{14}=9^{14}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: \(9^{14}\).

\[9^{14}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(3^{-20}=1/3^{20}\), wyjściowy iloraz jest równy \(3^8\cdot3^{20}=3^{28}=9^{14}\).

\[\frac{9^4}{3^{-20}}=3^8\cdot3^{20}=3^{28}=9^{14}\]

Zadanie 3

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{5}\sqrt[3]{25}\) jest równa

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{2}\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz pierwiastek jako potęgę

Ponieważ \(25=5^2\), korzystamy z definicji pierwiastka trzeciego stopnia.

\[\sqrt[3]{25}=\left(5^2\right)^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{2}{3}}\]

2 Oblicz logarytm

Logarytm o podstawie \(5\) z potęgi liczby \(5\) jest równy wykładnikowi tej potęgi.

\[\log_5\sqrt[3]{25}=\log_5 5^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Wynik to \(\frac{2}{3}\), odpowiedź B.

\[\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od \(1\), a liczba logarytmowana jest dodatnia. Ponadto podniesienie \(5^{\frac{2}{3}}\) do trzeciej potęgi daje \(25\), więc jest to \(\sqrt[3]{25}\).

\[\left(5^{\frac{2}{3}}\right)^3=5^2=25\]

Zadanie 4

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \(x^3-2x^2+x\) jest równa wartości wyrażenia

\(x(x-1)^2\)

\(x(x-1)(x+1)\)

\((x-1)(x^2+1)\)

\((x+1)(x-1)^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłączenie wspólnego czynnika

Każdy wyraz zawiera x, więc wyłączamy go przed nawias.

\[x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)\]

2 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Trójmian w nawiasie jest kwadratem różnicy, ponieważ \((x-1)^2=x^2-2x+1\).

\[x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A.

\[x^3-2x^2+x=x(x-1)^2\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu wyrażenia z odpowiedzi A otrzymujemy wyjściowy wielomian dla każdej liczby rzeczywistej x.

\[x(x-1)^2=x(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x\]

Zadanie 5

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-2(x+3)(x-2)>0\) jest przedział

\(\langle-3,2\rangle\)

\((-3,2)\)

\(\langle-2,3\rangle\)

\((-2,3)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie ujemnego współczynnika

Dzielimy obie strony przez −2, więc znak nierówności zmienia się na przeciwny.

\[-2(x+3)(x-2)>0\iff(x+3)(x-2)<0\]

2 Wyznaczenie przedziału

Iloczyn jest ujemny między miejscami zerowymi czynników. Nierówność jest ostra, więc końce przedziału wykluczamy.

\[x+3=0\iff x=-3,\qquad x-2=0\iff x=2,\qquad -3<x<2\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: przedział otwarty od −3 do 2.

\[x\in(-3,2)\]

Sprawdzenie

Dla x=0 iloczyn wynosi −6, więc nierówność jest spełniona. Dla x=−3 i x=2 lewa strona wynosi 0, więc końce nie należą do rozwiązania. Poza tym przedziałem czynniki mają ten sam znak, więc ich iloczyn nie jest ujemny.

\[(0+3)(0-2)=-6<0,\qquad (-3+3)(-3-2)=0,\qquad (2+3)(2-2)=0\]

Zadanie 6

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam 3 razy więcej niż drzew iglastych.

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(x\) – liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,
\(y\) – liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew iglastych oraz liczby \(y\) drzew liściastych, jest

\(\begin{cases}x+y=198\\x+18=3y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\3x+18=y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\\frac{1}{3}x+18=y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\3(x+18)=y\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby wszystkich drzew

W parku jest łącznie 198 drzew obu rodzajów, więc dodajemy ich liczby.

\[x+y=198\]

2 Zapisanie warunku o większej liczbie drzew iglastych

Po dodaniu 18 drzew iglastych byłoby ich x+18. Drzew liściastych byłoby wtedy trzy razy tyle.

\[y=3(x+18)\]

3 Wybranie układu i obliczenie liczb drzew

Otrzymany układ odpowiada odpowiedzi D. Podstawiamy drugie równanie do pierwszego, aby obliczyć x, a następnie y.

\[x+3(x+18)=198\quad\Rightarrow\quad 4x=144\quad\Rightarrow\quad x=36,\qquad y=198-36=162\]

Odpowiedź

Odpowiedź D. W parku rośnie 36 drzew iglastych i 162 drzewa liściaste.

\[\boxed{\begin{cases}x+y=198\\3(x+18)=y\end{cases}}\qquad x=36,\quad y=162\]

Sprawdzenie

Liczba wszystkich drzew wynosi 36+162=198. Po dodaniu 18 drzew iglastych byłoby ich 54, a 162=3·54, więc warunek jest spełniony. Obie liczby są nieujemnymi liczbami całkowitymi.

\[36+162=198,\qquad 162=3(36+18)\]

Zadanie 7

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Funkcja \(f\) ma dokładnie

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, z osiami, grotami, oznaczeniami oraz zaznaczonymi końcami odcinków.

jedno miejsce zerowe.

dwa miejsca zerowe.

trzy miejsca zerowe.

cztery miejsca zerowe.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie miejsc zerowych

Miejsca zerowe to argumenty, dla których wykres przecina lub dotyka osi \(Ox\). Lewy odcinek przecina ją w \(x=-\frac{7}{2}\), środkowa część ma zaznaczony pełny punkt w \((-2,0)\), a prawy odcinek przecina ją w \(x=3\).

\[f\left(-\frac{7}{2}\right)=0,\qquad f(-2)=0,\qquad f(3)=0\]

Odpowiedź

Funkcja ma dokładnie trzy miejsca zerowe. Odpowiedź C.

\[\boxed{3\text{ miejsca zerowe — C}}\]

Sprawdzenie

Na każdym z trzech odcinków wykresu występuje dokładnie jeden punkt o rzędnej zero. Wskazane punkty należą do wykresu, więc liczba miejsc zerowych wynosi trzy.

\[\left\{-\frac{7}{2},-2,3\right\}\]

Zadanie 8

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Funkcja \(f\) osiąga największą wartość dla argumentu

Wykres funkcji y = f(x) w układzie współrzędnych, wspólny dla zadań 7–9.

\((-2)\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie najwyższego punktu

Największej wartości funkcji szukamy w najwyższym punkcie wykresu. Punkt ten ma współrzędne \( (2,3) \) i należy do wykresu.

\[f(2)=3\]

2 Wskazanie argumentu

Największa wartość funkcji to \(3\), a funkcja przyjmuje ją dla argumentu \(2\).

\[x=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(2\).

\[x=2\]

Sprawdzenie

Pozostałe części wykresu leżą poniżej poziomu \(y=3\), więc żadna wartość funkcji nie jest większa od \(f(2)=3\).

\[f(x)\leq 3=f(2)\]

Zadanie 9

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział

Wykres funkcji y = f(x) w układzie współrzędnych, z zaznaczonymi końcami odcinków i punktami otwartymi.

\(\langle-5,4)\)

\((-5,4\rangle\)

\((-3,3\rangle\)

\((-3,3)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt końców wykresu

Zamalowany punkt przy x=-5 oznacza, że -5 należy do dziedziny. Niezamalowany punkt przy x=4 oznacza, że 4 do niej nie należy.

\[-5\in D_f,\qquad 4\notin D_f\]

2 Ustalenie przedziału

Wykres obejmuje wszystkie wartości x między tymi końcami. Wartość x=-2 także należy do dziedziny, ponieważ zaznaczono tam zamalowany punkt.

\[D_f=[-5,4)\]

Odpowiedź

Dziedziną jest przedział od -5 włącznie do 4 bez 4. Odpowiedź A.

\[D_f=[-5,4)\]

Sprawdzenie

Na wykresie jest punkt dla x=-5 i dla x=-2, a nie ma punktu dla x=4. Zgadza się to z przedziałem [-5,4).

\[-5\in D_f,\quad -2\in D_f,\quad 4\notin D_f\]

Zadanie 10

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x-4\).

Wskaż zdanie prawdziwe.

Funkcja \(f\) jest malejąca i w układzie współrzędnych \((x,y)\) jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\).

Funkcja \(f\) jest rosnąca i w układzie współrzędnych \((x,y)\) jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\).

Funkcja \(f\) jest malejąca i w układzie współrzędnych \((x,y)\) jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,4)\).

Funkcja \(f\) jest rosnąca i w układzie współrzędnych \((x,y)\) jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,4)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Określenie monotoniczności

Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca.

\[f(x)=3x-4,\quad 3>0\]

2 Wyznaczenie punktu przecięcia z osią Oy

Na osi Oy współrzędna x jest równa zeru, dlatego obliczamy f(0).

\[f(0)=3\cdot 0-4=-4\]

Odpowiedź

Prawdziwe jest zdanie B: funkcja jest rosnąca, a jej wykres przecina oś Oy w punkcie (0,−4).

\[\boxed{\mathrm{B}}\]

Sprawdzenie

Dla argumentów x₁<x₂ różnica wartości jest dodatnia, co potwierdza rosnący charakter funkcji. Punkt (0,−4) spełnia jej wzór.

\[f(x_2)-f(x_1)=3(x_2-x_1)>0,\qquad -4=3\cdot 0-4\]

Zadanie 11

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=2x^2-kx+6\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\).

Liczba \(k\) jest równa

\((-11)\)

\((-7)\)

\(7\)

\(11\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Ponieważ 2 jest miejscem zerowym funkcji, przyjmujemy \(f(2)=0\).

\[2\cdot 2^2-k\cdot 2+6=0\]

2 Obliczenie parametru

Upraszczamy równanie i dzielimy obie strony przez 2.

\[8-2k+6=0\;\Longrightarrow\;2k=14\;\Longrightarrow\;k=7\]

Odpowiedź

Liczba k wynosi 7. Odpowiedź C.

\[k=7\]

Sprawdzenie

Dla k równego 7 wartość funkcji w punkcie 2 wynosi 0, więc warunek zadania jest spełniony.

\[f(2)=2\cdot 2^2-7\cdot 2+6=8-14+6=0\]

Zadanie 12

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). W tym ciągu \(a_1=2\) oraz \(a_3-a_2=-6\).

Piąty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

\((-4)\)

\((-16)\)

\((-22)\)

\((-28)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała, więc podana różnica jest równa różnicy ciągu.

\[r=a_3-a_2=-6\]

2 Obliczenie piątego wyrazu

Od pierwszego do piątego wyrazu dodajemy różnicę cztery razy.

\[a_5=a_1+4r=2+4\cdot(-6)=-22\]

Odpowiedź

Piąty wyraz wynosi −22. Odpowiedź C.

\[a_5=-22\]

Sprawdzenie

Kolejne wyrazy to 2, −4, −10, −16, −22. Rzeczywiście różnica trzeciego i drugiego wynosi −6.

\[a_3-a_2=-10-(-4)=-6\]

Zadanie 13

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Pięciowyrazowy ciąg \((a_1,a_2,2,a_4,a_5)\) jest geometryczny.

Iloczyn \(a_1\cdot a_2\cdot 2\cdot a_4\cdot a_5\) jest równy

\(2\)

\(16\)

\(32\)

\(64\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz wyrazy jednakowo odległe od środka

W ciągu geometrycznym iloczyn takich wyrazów jest równy kwadratowi wyrazu środkowego.

\[a_1a_5=a_3^2=4,\qquad a_2a_4=a_3^2=4\]

2 Oblicz iloczyn

Grupujemy wyrazy w pary i mnożymy przez wyraz środkowy.

\[a_1a_2\cdot2\cdot a_4a_5=(a_1a_5)(a_2a_4)\cdot2=4\cdot4\cdot2=32\]

Odpowiedź

C. Iloczyn jest równy 32.

\[32\]

Sprawdzenie

Obie pary dają 4, więc ich iloczyn pomnożony przez wyraz środkowy 2 wynosi 32.

\[4\cdot4\cdot2=32\]

Zadanie 14

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie \(\alpha\), że \(\sin\alpha=\frac{1}{4}\).

Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość \(8\).

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

\(1\)

\(2\)

\(4\)

\(2\sqrt{15}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przyprostokątnej

Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

\[\sin\alpha=\frac{a}{8}=\frac14\quad\Rightarrow\quad a=8\cdot\frac14=2\]

2 Porównanie przyprostokątnych

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugą przyprostokątną, aby ustalić, która jest krótsza.

\[b=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}>2\]

Odpowiedź

Krótsza przyprostokątna ma długość 2. Odpowiedź B.

\[2\quad(\mathrm{B})\]

Sprawdzenie

Przyprostokątne spełniają twierdzenie Pitagorasa, a przyprostokątna długości 2 daje podany sinus.

\[2^2+(2\sqrt{15})^2=64=8^2,\qquad \frac28=\frac14\]

Zadanie 15

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\).

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

\(\frac{3}{4}\)

\(\frac{4}{3}\)

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{5}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie cosinusa

Kąt jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\[\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens to iloraz sinusa i cosinusa tego samego kąta.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonych wartości sinusa i cosinusa ich kwadraty sumują się do 1, a obie wartości są dodatnie, jak dla kąta ostrego.

\[\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1\]

Zadanie 16

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu oraz \(|\angle ABD|=18^\circ\). Punkt \(D\) leży na krótszym łuku \(CA\) (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego \(BCA\) jest równa

Okrąg o środku S z punktami A, B, C i D na okręgu. BD jest średnicą; zaznaczono kąt ABD o mierze 18° oraz kąt BCA.

\(36^\circ\)

\(60^\circ\)

\(72^\circ\)

\(81^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt oparty na średnicy

Kąt wpisany oparty na średnicy \(BD\) jest prosty.

\[\angle BAD=90^\circ\]

2 Kąt w trójkącie ABD

Z sumy kątów trójkąta obliczamy kąt przy wierzchołku \(D\).

\[\angle BDA=180^\circ-90^\circ-18^\circ=72^\circ\]

3 Kąty oparte na tym samym łuku

Kąty \(BDA\) i \(BCA\) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku \(BA\), więc mają równe miary.

\[\angle BCA=\angle BDA=72^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BCA ma miarę 72°, zatem poprawna jest odpowiedź C.

\[\boxed{\angle BCA=72^\circ\quad\text{— odpowiedź C}}\]

Sprawdzenie

Obliczone kąty trójkąta ABD sumują się do 180°, a 72° jest kątem ostrym, zgodnie z treścią zadania.

\[90^\circ+18^\circ+72^\circ=180^\circ,\qquad 72^\circ<90^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Długość okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równa \(16\).

Wysokość tego trójkąta jest równa

\(6\)

\(\frac{6}{\sqrt{\pi}}\)

\(12\)

\(\frac{12}{\pi}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Promień okręgu

Z długości okręgu obliczamy promień okręgu opisanego.

\[2\pi R=16\quad\Rightarrow\quad R=\frac{8}{\pi}\]

2 Wysokość trójkąta

W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego leży na wysokości i dzieli ją w stosunku \(2:1\), więc \(R=\frac{2}{3}h\).

\[h=\frac{3}{2}R=\frac{3}{2}\cdot\frac{8}{\pi}=\frac{12}{\pi}\]

Odpowiedź

Wysokość wynosi \(\frac{12}{\pi}\). Odpowiedź D.

\[h=\frac{12}{\pi}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wysokości promień wynosi \(\frac{2}{3}\cdot\frac{12}{\pi}=\frac{8}{\pi}\), a długość okręgu \(2\pi\cdot\frac{8}{\pi}=16\), zgodnie z treścią.

\[2\pi\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{12}{\pi}=16\]

Zadanie 18

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie \(A\) przecięto dwiema prostymi równoległymi \(k\) oraz \(l\). Prosta \(k\) przecina ramiona tego kąta w punktach \(B\) oraz \(C\). Prosta \(l\) przecina ramiona tego kąta w punktach \(D\) oraz \(E\). Punkty \(B\) oraz \(D\) leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty \(C\) oraz \(E\) leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto \(|AB|=6\), \(|BC|=4\) oraz \(|BD|=2\) (zobacz rysunek).

Odcinek \(DE\) ma długość

Kąt o wierzchołku A przecięty równoległymi prostymi k i l. Na dolnym ramieniu leżą kolejno B i D, na górnym C i E. Oznaczono długości AB = 6, BD = 2 i BC = 4.

\(\frac{8}{3}\)

\(\frac{16}{3}\)

\(6\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości AD

Punkty A, B i D leżą kolejno na jednym ramieniu kąta, więc dodajemy długości odcinków AB i BD.

\[|AD|=|AB|+|BD|=6+2=8\]

2 Zastosowanie podobieństwa trójkątów

Ponieważ proste k i l są równoległe, trójkąty ABC i ADE są podobne. Odpowiadające sobie boki mają ten sam stosunek długości.

\[\frac{|DE|}{|BC|}=\frac{|AD|}{|AB|},\qquad |DE|=4\cdot\frac{8}{6}=\frac{16}{3}\]

Odpowiedź

Odcinek DE ma długość \(\frac{16}{3}\). Poprawna odpowiedź: B.

\[|DE|=\frac{16}{3}\]

Sprawdzenie

Stosunek długości DE do BC wynosi \(\frac{4}{3}\), tyle samo co stosunek AD do AB.

\[\frac{\frac{16}{3}}{4}=\frac{4}{3}=\frac{8}{6}\]

Zadanie 19

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-3,1)\) oraz \(B=(1,-3)\) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).

Obwód kwadratu \(ABCD\) jest równy

\(4\sqrt{2}\)

\(16\sqrt{2}\)

\(16\)

\(32\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości boku

Punkty A i B są kolejnymi wierzchołkami, więc odcinek AB jest bokiem kwadratu. Jego długość obliczamy ze wzoru na odległość punktów.

\[|AB|=\sqrt{(1-(-3))^2+(-3-1)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2}\]

2 Obliczenie obwodu

Kwadrat ma cztery boki tej samej długości, więc mnożymy długość boku przez 4.

\[O=4\cdot|AB|=4\cdot4\sqrt{2}=16\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Obwód kwadratu wynosi \(16\sqrt{2}\). Odpowiedź B.

\[O=16\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Kwadrat obliczonej długości boku wynosi \(32\), tyle samo co suma kwadratów różnic współrzędnych: \(16+16=32\).

\[(4\sqrt{2})^2=32=4^2+(-4)^2\]

Zadanie 20

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-1,-4)\) oraz \(B=(2,y_B)\) leżą na prostej \(l\). Współczynnik kierunkowy prostej \(l\) jest równy \(3\).

Liczba \(y_B\) jest równa

\((-3)\)

\(5\)

\(7\)

\((-13)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie współczynnika kierunkowego

Dla dwóch punktów prostej współczynnik kierunkowy jest ilorazem różnicy współrzędnych \(y\) i różnicy współrzędnych \(x\).

\[\frac{y_B-(-4)}{2-(-1)}=3\]

2 Obliczenie współrzędnej

Upraszczamy równanie i wyznaczamy \(y_B\).

\[\frac{y_B+4}{3}=3\quad\Rightarrow\quad y_B+4=9\quad\Rightarrow\quad y_B=5\]

Odpowiedź

Liczba y_B jest równa 5. Odpowiedź B.

\[y_B=5\]

Sprawdzenie

Dla punktów A=(-1,-4) i B=(2,5) współczynnik kierunkowy wynosi 3, zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{5-(-4)}{2-(-1)}=\frac{9}{3}=3\]

Zadanie 21

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość \(12\).

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

\(2\sqrt{3}\)

\(3\sqrt{2}\)

\(2\sqrt{6}\)

\(6\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość środka podstawy od wierzchołka kwadratu

Spodek wysokości leży w środku kwadratowej podstawy. Szukana odległość jest połową przekątnej kwadratu o boku 12.

\[d=12\sqrt{2},\qquad r=\frac{d}{2}=6\sqrt{2}\]

2 Obliczenie wysokości

Wysokość, odcinek długości r i krawędź boczna długości 12 tworzą trójkąt prostokątny. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[h^2+r^2=12^2,\qquad h=\sqrt{144-(6\sqrt{2})^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Wysokość wynosi 6√2. Odpowiedź D.

\[h=6\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Kwadrat wysokości i kwadrat odległości od środka podstawy sumują się do kwadratu krawędzi bocznej: 72 + 72 = 144.

\[(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=72+72=12^2\]

Zadanie 22

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka o promieniu podstawy \(1\) ma długość \(3\).

Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie środkowym o mierze

\(60^\circ\)

\(90^\circ\)

\(120^\circ\)

\(150^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość łuku wycinka

Łuk wycinka po rozłożeniu powierzchni bocznej ma długość równą obwodowi podstawy stożka.

\[s=2\pi r=2\pi\cdot1=2\pi\]

2 Kąt środkowy

Promień wycinka jest równy tworzącej stożka, czyli 3. Korzystamy ze wzoru na długość łuku wycinka.

\[\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot3=2\pi\quad\Rightarrow\quad\alpha=120^\circ\]

Odpowiedź

Kąt środkowy ma miarę 120°, więc poprawna jest odpowiedź C.

\[\alpha=120^\circ\]

Sprawdzenie

Dla kąta 120° łuk wycinka ma długość 2π, równą obwodowi podstawy stożka.

\[\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot3=2\pi\]

Zadanie 23

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

\(400\)

\(500\)

\(900\)

\(1600\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór skrajnych cyfr

Cyfra jedności musi być parzysta, a równa jej cyfra tysięcy nie może być zerem. Są więc cztery możliwości.

\[2,4,6,8\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfry setek i dziesiątek można wybrać niezależnie, każdą na 10 sposobów. Mnożymy liczby możliwości.

\[4\cdot 10\cdot 10=400\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 400. Odpowiedź A.

\[400\]

Sprawdzenie

Dla każdej z czterech możliwych cyfr skrajnych otrzymujemy dokładnie 100 liczb, bo dwie środkowe cyfry tworzą parę od 00 do 99. Wszystkie są czterocyfrowe i parzyste.

\[4\cdot 100=400\]

Zadanie 24

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to \(9\) lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to \(13\) lat.

Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy

\(10\)

\(10{,}5\)

\(11\)

\(11{,}5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal liczby uczniów

Przyjmijmy, że w drugiej szkole jest n uczniów. W pierwszej jest ich trzy razy więcej.

\[n_2=n,\quad n_1=3n,\quad n>0\]

2 Oblicz średnią ważoną

Sumę wieku uczniów obu szkół dzielimy przez łączną liczbę uczniów.

\[\frac{9\cdot 3n+13\cdot n}{3n+n}=\frac{40n}{4n}=10\]

Odpowiedź

Średni wiek wynosi 10 lat. Odpowiedź A.

\[10\ \text{lat}\]

Sprawdzenie

Dla przykładowych 3 uczniów w pierwszej szkole i 1 w drugiej suma ich wieku wynikająca ze średnich to 27+13=40 lat. Podzielenie przez 4 daje 10 lat; warunek liczby uczniów jest spełniony.

\[\frac{3\cdot 9+1\cdot 13}{4}=10\]

Zadanie 25

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Diagram słupkowy liczby uczniów dla ocen od 1 do 6: odpowiednio 2, 1, 6, 5, 7 i 5 uczniów.

\(3\)

\(3{,}5\)

\(4\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba uczniów

Dodajemy liczby uczniów odczytane z diagramu, aby ustalić pozycje środkowych ocen.

\[2+1+6+5+7+5=26\]

2 Wyznaczenie mediany

Przy 26 uczniach mediana jest średnią ocen na miejscach 13. i 14. Po uporządkowaniu wyników oceny od 1 do 3 zajmują łącznie 9 miejsc, a ocena 4 zajmuje miejsca od 10. do 14.

\[2+1+6=9,\qquad 9+5=14,\qquad \frac{4+4}{2}=4\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 4. Odpowiedź C.

\[\operatorname{Me}=4\]

Sprawdzenie

Obie środkowe oceny, na miejscach 13. i 14., należą do pięciu ocen równych 4, więc ich średnia wynosi 4.

\[10\leqslant 13<14\leqslant 14\]

Zadanie 26

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \((27x^{3}+1)(x^{2}-4)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[27x^{3}+1=0\quad\text{lub}\quad x^{2}-4=0\]

2 Rozwiązanie pierwszego równania

Przenosimy 1 na prawą stronę i wyciągamy pierwiastek sześcienny.

\[27x^{3}=-1\iff x^{3}=-\frac{1}{27}\iff x=-\frac{1}{3}\]

3 Rozwiązanie drugiego równania

Rozkładamy różnicę kwadratów na czynniki i ponownie stosujemy zasadę iloczynu zerowego.

\[x^{2}-4=(x-2)(x+2)=0\iff x=2\quad\text{lub}\quad x=-2\]

Odpowiedź

Zbiór rozwiązań to \(\left\{-2,-\frac{1}{3},2\right\}\).

\[x\in\left\{-2,-\frac{1}{3},2\right\}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-\frac{1}{3}\) pierwszy czynnik wynosi 0, a dla \(x=-2\) i \(x=2\) drugi czynnik wynosi 0. Każda z trzech liczb spełnia więc równanie.

\[27\left(-\frac{1}{3}\right)^3+1=0,\qquad (-2)^2-4=0,\qquad 2^2-4=0\]

Zadanie 27

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \(\frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}\), gdzie \(x\ne 0\) i \(x\ne 1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunki

Mianowniki nie mogą być zerem, więc wykluczamy 0 i 1.

\[x\ne 0,\quad x\ne 1\]

2 Usunięcie mianowników

Dla dopuszczalnych wartości x mnożymy obie strony przez 3x(x−1), a następnie porządkujemy równanie.

\[3x(3x+4)=(x+3)(x-1)\;\Longleftrightarrow\;9x^2+12x=x^2+2x-3\;\Longleftrightarrow\;8x^2+10x+3=0\]

3 Wyznaczenie rozwiązań

Rozkładamy trójmian na czynniki i korzystamy z zasady iloczynu równego zeru.

\[(4x+3)(2x+1)=0\;\Longleftrightarrow\;x=-\frac34\;\text{lub}\;x=-\frac12\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami są x = −3/4 oraz x = −1/2.

\[x\in\left\{-\frac34,-\frac12\right\}\]

Sprawdzenie

Obie liczby spełniają warunki. Po podstawieniu do lewej i prawej strony równania otrzymujemy odpowiednio −1 oraz −5/3.

\[x=-\frac34:\quad \frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}=-1;\qquad x=-\frac12:\quad \frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}=-\frac53\]

Zadanie 28

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\ge 0\) liczba \(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\) jest podzielna przez 19.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik zawiera czynnik \(7^n\), więc wyłączamy go przed nawias.

\[7^n+7^{n+1}+7^{n+2}=7^n(1+7+7^2)\]

2 Wykaż podzielność

Suma w nawiasie wynosi \(57=19\cdot3\). Ponieważ dla \(n\ge0\) liczba \(3\cdot7^n\) jest całkowita, całe wyrażenie jest wielokrotnością 19.

\[7^n(1+7+49)=57\cdot7^n=19(3\cdot7^n)\]

Odpowiedź

Dla każdej liczby całkowitej \(n\ge0\) podana liczba jest podzielna przez 19.

\[19\mid\left(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\right)\]

Sprawdzenie

Dla \(n=0\) otrzymujemy \(1+7+49=57=3\cdot19\). Ogólny rozkład \(19(3\cdot7^n)\) potwierdza podzielność dla każdego dopuszczalnego \(n\).

\[n=0:\quad 1+7+49=57=19\cdot3\]

Zadanie 29

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Czterowyrazowy ciąg \((7, a_2, a_3, a_4)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(54\).

Oblicz drugi wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o tę samą różnicę \(d\).

\[a_2=7+d,\quad a_3=7+2d,\quad a_4=7+3d\]

2 Obliczenie różnicy

Podstawiamy wyrazy do podanej sumy i rozwiązujemy równanie.

\[7+(7+d)+(7+2d)+(7+3d)=54\quad\Rightarrow\quad 28+6d=54\quad\Rightarrow\quad d=\frac{13}{3}\]

3 Obliczenie drugiego wyrazu

Dodajemy obliczoną różnicę do pierwszego wyrazu.

\[a_2=7+\frac{13}{3}=\frac{34}{3}\]

Odpowiedź

Drugi wyraz ciągu to \(\frac{34}{3}\).

\[a_2=\frac{34}{3}\]

Sprawdzenie

Kolejne wyrazy mają różnicę \(\frac{13}{3}\), a ich suma wynosi \(54\).

\[7+\frac{34}{3}+\frac{47}{3}+20=54\]

Zadanie 30

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(AB\) i odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta. Punkt \(E\) jest środkiem boku \(AC\).

Ponadto odcinki \(DB\) oraz \(DE\) mają równe długości (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(|\angle CAB|=2\cdot|\angle ABE|\).

Trójkąt ABC z punktem D na boku AB i punktem E na boku AC. Odcinek CD jest przerywany, DE ciągły, a EB przerywany; zaznaczono kąty przy A i B.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równe odcinki

W trójkącie prostokątnym \(ACD\) punkt \(E\) jest środkiem przeciwprostokątnej \(AC\), więc \(EA=ED\). Z danych mamy też \(ED=DB\).

\[EA=ED=DB\]

2 Kąty przy podstawach

Oznaczmy \(\alpha=|\angle CAB|\). Ponieważ \(A,D,B\) leżą na jednej prostej, w trójkącie równoramiennym \(AED\) kąty przy podstawie są równe \(\alpha\). Kąt \(EDB\) jest przyległy do \(EDA\). W trójkącie równoramiennym \(EDB\) oba pozostałe kąty są więc równe \(\alpha/2\).

\[|\angle EDA|=\alpha,\quad |\angle EDB|=180^\circ-\alpha,\quad |\angle ABE|=|\angle DBE|=\frac{180^\circ-(180^\circ-\alpha)}{2}=\frac{\alpha}{2}\]

Odpowiedź

Kąt CAB jest dwa razy większy od kąta ABE.

\[|\angle CAB|=2|\angle ABE|\]

Sprawdzenie

W trójkącie EDB suma kątów wynosi \(180^\circ\): kąt przy D ma \(180^\circ-\alpha\), a każdy z dwóch pozostałych ma \(\alpha/2\). Potwierdza to obliczony kąt przy B.

\[(180^\circ-\alpha)+\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=180^\circ\]

Zadanie 31

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dany jest sześcioelementowy zbiór \(K=\{2,3,4,5,6,7\}\). Ze zbioru \(K\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od \(16\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wszystkich wyników

Kolejność losowania ma znaczenie. Pierwszą liczbę wybieramy na 6 sposobów, a drugą, bez zwracania, na 5 sposobów.

\[|\Omega|=6\cdot5=30\]

2 Policzenie wyników sprzyjających

Pierwsza liczba musi być parzysta. Dla 2 nie ma odpowiedniej drugiej liczby; dla 4 pasują 5, 6 i 7; dla 6 pasują 3, 4, 5 i 7.

\[2y>16:\ 0\text{ możliwości};\quad 4y>16:\ 3\text{ możliwości};\quad 6y>16:\ 4\text{ możliwości};\qquad |A|=0+3+4=7\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie uporządkowane wyniki są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{7}{30}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 7/30.

\[P(A)=\frac{7}{30}\]

Sprawdzenie

Sprzyjające pary to (4,5), (4,6), (4,7), (6,3), (6,4), (6,5) i (6,7). Jest ich 7; w każdej liczby są różne, pierwsza jest parzysta, a iloczyn przekracza 16.

\[4\cdot5=20>16,\qquad 6\cdot3=18>16\]

Zadanie 32

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(D=(6,19)\).

Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+9\), a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=4x-5\).

Punkt \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\).

Przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S\).

Oblicz odległość punktu \(S\) od początku układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu A

Punkt A leży na obu podanych prostych, więc znajdujemy ich punkt przecięcia.

\[\frac{1}{2}x+9=4x-5\;\Rightarrow\;x=4,\quad y=11,\quad A=(4,11)\]

2 Wyznaczenie punktu B

K jest środkiem odcinka AB, więc współrzędne B obliczamy ze wzoru na środek odcinka.

\[B=(2\cdot10-4,\;2\cdot14-11)=(16,17)\]

3 Wyznaczenie punktu S

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, zatem S jest środkiem odcinka BD.

\[S=\left(\frac{16+6}{2},\frac{17+19}{2}\right)=(11,18)\]

4 Obliczenie odległości

Stosujemy wzór na odległość punktu od początku układu współrzędnych.

\[|OS|=\sqrt{11^2+18^2}=\sqrt{445}\]

Odpowiedź

Odległość punktu S od początku układu współrzędnych wynosi \(\sqrt{445}\).

\[|OS|=\sqrt{445}\]

Sprawdzenie

Punkty A i B leżą na prostej zawierającej AB, punkt D leży na prostej zawierającej AD, a środek AB ma współrzędne K. Druga przekątna ma ten sam środek S.

\[\frac{1}{2}\cdot4+9=11,\quad\frac{1}{2}\cdot16+9=17,\quad4\cdot6-5=19;\quad\frac{A+B}{2}=(10,14),\quad C=B+D-A=(18,25),\quad\frac{A+C}{2}=(11,18)\]

Zadanie 33

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Odcinek \(AD\) jest wysokością walca, a odcinek \(AB\) jest średnicą podstawy walca. Odcinek \(BD\) ma długość \(4\sqrt{3}\). Miara kąta \(ABD\) jest równa \(30^\circ\) (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca.

Walec z zaznaczonym trójkątem ABD. Odcinek AD jest wysokością, AB średnicą podstawy, BD ma długość 4√3, a kąt ABD ma miarę 30°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Ponieważ AD jest wysokością walca, jest prostopadły do płaszczyzny podstawy, a więc także do AB. W trójkącie prostokątnym ABD obliczamy przyprostokątne z sinusa i cosinusa kąta 30°. AB jest średnicą podstawy.

\[AD=BD\sin30^\circ=4\sqrt3\cdot\frac12=2\sqrt3,\quad AB=BD\cos30^\circ=4\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6,\quad r=\frac{AB}{2}=3\]

2 Obliczenie objętości

Objętość walca jest iloczynem pola podstawy i wysokości.

\[V=\pi r^2h=\pi\cdot3^2\cdot2\sqrt3=18\sqrt3\pi\]

3 Obliczenie pola całkowitego

Dodajemy pola dwóch podstaw i pole powierzchni bocznej.

\[P_c=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\cdot3^2+2\pi\cdot3\cdot2\sqrt3=(18+12\sqrt3)\pi\]

Odpowiedź

Objętość walca wynosi 18√3π jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi (18 + 12√3)π jednostek kwadratowych.

\[V=18\sqrt3\pi,\qquad P_c=(18+12\sqrt3)\pi\]

Sprawdzenie

Otrzymane wymiary spełniają twierdzenie Pitagorasa oraz dają wskazany kąt przy B.

\[AB^2+AD^2=6^2+(2\sqrt3)^2=48=(4\sqrt3)^2,\qquad \frac{AD}{BD}=\frac{2\sqrt3}{4\sqrt3}=\frac12=\sin30^\circ\]

Zadanie 34

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(100\).

Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział \((-2,8)\).

Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Funkcja jest dodatnia dokładnie między −2 a 8, więc na końcach tego przedziału ma miejsca zerowe. Jej ramiona są skierowane w dół, zatem \(a<0\).

\[f(x)=a(x+2)(x-8),\quad a<0\]

2 Obliczenie współczynnika a

Wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi. Podstawiamy jego argument do wzoru, ponieważ największa wartość funkcji wynosi 100.

\[x_w=\frac{-2+8}{2}=3,\qquad 100=f(3)=a(3+2)(3-8)=-25a,\qquad a=-4\]

3 Rozwinięcie wzoru funkcji

Rozwijamy postać iloczynową, aby odczytać współczynniki przy kolejnych potęgach \(x\).

\[f(x)=-4(x+2)(x-8)=-4(x^2-6x-16)=-4x^2+24x+64\]

Odpowiedź

Współczynniki wynoszą a = −4, b = 24, c = 64.

\[a=-4,\quad b=24,\quad c=64\]

Sprawdzenie

Postać kanoniczna potwierdza maksimum 100 dla x = 3. Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest ujemny, funkcja jest dodatnia dokładnie wtedy, gdy odległość x od 3 jest mniejsza niż 5, czyli dla x z przedziału (−2, 8).

\[f(x)=-4(x-3)^2+100,\qquad f(x)>0\iff (x-3)^2<25\iff -2<x<8\]