Zadanie 18 — matura 2026, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie \(A\) przecięto dwiema prostymi równoległymi \(k\) oraz \(l\). Prosta \(k\) przecina ramiona tego kąta w punktach \(B\) oraz \(C\). Prosta \(l\) przecina ramiona tego kąta w punktach \(D\) oraz \(E\). Punkty \(B\) oraz \(D\) leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty \(C\) oraz \(E\) leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto \(|AB|=6\), \(|BC|=4\) oraz \(|BD|=2\) (zobacz rysunek).

Odcinek \(DE\) ma długość

Kąt o wierzchołku A przecięty równoległymi prostymi k i l. Na dolnym ramieniu leżą kolejno B i D, na górnym C i E. Oznaczono długości AB = 6, BD = 2 i BC = 4.

\(\frac{8}{3}\)

\(\frac{16}{3}\)

\(6\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości AD

Punkty A, B i D leżą kolejno na jednym ramieniu kąta, więc dodajemy długości odcinków AB i BD.

\[|AD|=|AB|+|BD|=6+2=8\]

2 Zastosowanie podobieństwa trójkątów

Ponieważ proste k i l są równoległe, trójkąty ABC i ADE są podobne. Odpowiadające sobie boki mają ten sam stosunek długości.

\[\frac{|DE|}{|BC|}=\frac{|AD|}{|AB|},\qquad |DE|=4\cdot\frac{8}{6}=\frac{16}{3}\]

Odpowiedź

Odcinek DE ma długość \(\frac{16}{3}\). Poprawna odpowiedź: B.

\[|DE|=\frac{16}{3}\]

Sprawdzenie

Stosunek długości DE do BC wynosi \(\frac{4}{3}\), tyle samo co stosunek AD do AB.

\[\frac{\frac{16}{3}}{4}=\frac{4}{3}=\frac{8}{6}\]