Otwarte2 pkt
Rozwiąż równanie \((27x^{3}+1)(x^{2}-4)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego
Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.
\[27x^{3}+1=0\quad\text{lub}\quad x^{2}-4=0\]
2 Rozwiązanie pierwszego równania
Przenosimy 1 na prawą stronę i wyciągamy pierwiastek sześcienny.
\[27x^{3}=-1\iff x^{3}=-\frac{1}{27}\iff x=-\frac{1}{3}\]
3 Rozwiązanie drugiego równania
Rozkładamy różnicę kwadratów na czynniki i ponownie stosujemy zasadę iloczynu zerowego.
\[x^{2}-4=(x-2)(x+2)=0\iff x=2\quad\text{lub}\quad x=-2\]
Odpowiedź
Zbiór rozwiązań to \(\left\{-2,-\frac{1}{3},2\right\}\).
\[x\in\left\{-2,-\frac{1}{3},2\right\}\]
Sprawdzenie
Dla \(x=-\frac{1}{3}\) pierwszy czynnik wynosi 0, a dla \(x=-2\) i \(x=2\) drugi czynnik wynosi 0. Każda z trzech liczb spełnia więc równanie.
\[27\left(-\frac{1}{3}\right)^3+1=0,\qquad (-2)^2-4=0,\qquad 2^2-4=0\]