Otwarte2 pkt
Rozwiąż równanie \(\frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}\), gdzie \(x\ne 0\) i \(x\ne 1\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Warunki
Mianowniki nie mogą być zerem, więc wykluczamy 0 i 1.
\[x\ne 0,\quad x\ne 1\]
2 Usunięcie mianowników
Dla dopuszczalnych wartości x mnożymy obie strony przez 3x(x−1), a następnie porządkujemy równanie.
\[3x(3x+4)=(x+3)(x-1)\;\Longleftrightarrow\;9x^2+12x=x^2+2x-3\;\Longleftrightarrow\;8x^2+10x+3=0\]
3 Wyznaczenie rozwiązań
Rozkładamy trójmian na czynniki i korzystamy z zasady iloczynu równego zeru.
\[(4x+3)(2x+1)=0\;\Longleftrightarrow\;x=-\frac34\;\text{lub}\;x=-\frac12\]
Odpowiedź
Rozwiązaniami są x = −3/4 oraz x = −1/2.
\[x\in\left\{-\frac34,-\frac12\right\}\]
Sprawdzenie
Obie liczby spełniają warunki. Po podstawieniu do lewej i prawej strony równania otrzymujemy odpowiednio −1 oraz −5/3.
\[x=-\frac34:\quad \frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}=-1;\qquad x=-\frac12:\quad \frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}=-\frac53\]