Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\ge 0\) liczba \(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\) jest podzielna przez 19.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyłącz wspólny czynnik
Każdy składnik zawiera czynnik \(7^n\), więc wyłączamy go przed nawias.
\[7^n+7^{n+1}+7^{n+2}=7^n(1+7+7^2)\]
2 Wykaż podzielność
Suma w nawiasie wynosi \(57=19\cdot3\). Ponieważ dla \(n\ge0\) liczba \(3\cdot7^n\) jest całkowita, całe wyrażenie jest wielokrotnością 19.
\[7^n(1+7+49)=57\cdot7^n=19(3\cdot7^n)\]
Odpowiedź
Dla każdej liczby całkowitej \(n\ge0\) podana liczba jest podzielna przez 19.
\[19\mid\left(7^n+7^{n+1}+7^{n+2}\right)\]
Sprawdzenie
Dla \(n=0\) otrzymujemy \(1+7+49=57=3\cdot19\). Ogólny rozkład \(19(3\cdot7^n)\) potwierdza podzielność dla każdego dopuszczalnego \(n\).
\[n=0:\quad 1+7+49=57=19\cdot3\]