Zamknięte1 pkt
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu oraz \(|\angle ABD|=18^\circ\). Punkt \(D\) leży na krótszym łuku \(CA\) (zobacz rysunek).
Miara kąta ostrego \(BCA\) jest równa
A
\(36^\circ\)
B
\(60^\circ\)
C
\(72^\circ\)
D
\(81^\circ\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Kąt oparty na średnicy
Kąt wpisany oparty na średnicy \(BD\) jest prosty.
\[\angle BAD=90^\circ\]
2 Kąt w trójkącie ABD
Z sumy kątów trójkąta obliczamy kąt przy wierzchołku \(D\).
\[\angle BDA=180^\circ-90^\circ-18^\circ=72^\circ\]
3 Kąty oparte na tym samym łuku
Kąty \(BDA\) i \(BCA\) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku \(BA\), więc mają równe miary.
\[\angle BCA=\angle BDA=72^\circ\]
Odpowiedź
Kąt BCA ma miarę 72°, zatem poprawna jest odpowiedź C.
\[\boxed{\angle BCA=72^\circ\quad\text{— odpowiedź C}}\]
Sprawdzenie
Obliczone kąty trójkąta ABD sumują się do 180°, a 72° jest kątem ostrym, zgodnie z treścią zadania.
\[90^\circ+18^\circ+72^\circ=180^\circ,\qquad 72^\circ<90^\circ\]