Zadanie 30 — matura 2026, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(AB\) i odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta. Punkt \(E\) jest środkiem boku \(AC\).

Ponadto odcinki \(DB\) oraz \(DE\) mają równe długości (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(|\angle CAB|=2\cdot|\angle ABE|\).

Trójkąt ABC z punktem D na boku AB i punktem E na boku AC. Odcinek CD jest przerywany, DE ciągły, a EB przerywany; zaznaczono kąty przy A i B.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równe odcinki

W trójkącie prostokątnym \(ACD\) punkt \(E\) jest środkiem przeciwprostokątnej \(AC\), więc \(EA=ED\). Z danych mamy też \(ED=DB\).

\[EA=ED=DB\]

2 Kąty przy podstawach

Oznaczmy \(\alpha=|\angle CAB|\). Ponieważ \(A,D,B\) leżą na jednej prostej, w trójkącie równoramiennym \(AED\) kąty przy podstawie są równe \(\alpha\). Kąt \(EDB\) jest przyległy do \(EDA\). W trójkącie równoramiennym \(EDB\) oba pozostałe kąty są więc równe \(\alpha/2\).

\[|\angle EDA|=\alpha,\quad |\angle EDB|=180^\circ-\alpha,\quad |\angle ABE|=|\angle DBE|=\frac{180^\circ-(180^\circ-\alpha)}{2}=\frac{\alpha}{2}\]

Odpowiedź

Kąt CAB jest dwa razy większy od kąta ABE.

\[|\angle CAB|=2|\angle ABE|\]

Sprawdzenie

W trójkącie EDB suma kątów wynosi \(180^\circ\): kąt przy D ma \(180^\circ-\alpha\), a każdy z dwóch pozostałych ma \(\alpha/2\). Potwierdza to obliczony kąt przy B.

\[(180^\circ-\alpha)+\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=180^\circ\]