Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\).
Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(100\).
Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział \((-2,8)\).
Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie miejsc zerowych
Funkcja jest dodatnia dokładnie między −2 a 8, więc na końcach tego przedziału ma miejsca zerowe. Jej ramiona są skierowane w dół, zatem \(a<0\).
2 Obliczenie współczynnika a
Wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi. Podstawiamy jego argument do wzoru, ponieważ największa wartość funkcji wynosi 100.
3 Rozwinięcie wzoru funkcji
Rozwijamy postać iloczynową, aby odczytać współczynniki przy kolejnych potęgach \(x\).
Odpowiedź
Współczynniki wynoszą a = −4, b = 24, c = 64.
Sprawdzenie
Postać kanoniczna potwierdza maksimum 100 dla x = 3. Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest ujemny, funkcja jest dodatnia dokładnie wtedy, gdy odległość x od 3 jest mniejsza niż 5, czyli dla x z przedziału (−2, 8).