Zadanie 33 — matura 2026, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Odcinek \(AD\) jest wysokością walca, a odcinek \(AB\) jest średnicą podstawy walca. Odcinek \(BD\) ma długość \(4\sqrt{3}\). Miara kąta \(ABD\) jest równa \(30^\circ\) (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca.

Walec z zaznaczonym trójkątem ABD. Odcinek AD jest wysokością, AB średnicą podstawy, BD ma długość 4√3, a kąt ABD ma miarę 30°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Ponieważ AD jest wysokością walca, jest prostopadły do płaszczyzny podstawy, a więc także do AB. W trójkącie prostokątnym ABD obliczamy przyprostokątne z sinusa i cosinusa kąta 30°. AB jest średnicą podstawy.

\[AD=BD\sin30^\circ=4\sqrt3\cdot\frac12=2\sqrt3,\quad AB=BD\cos30^\circ=4\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6,\quad r=\frac{AB}{2}=3\]

2 Obliczenie objętości

Objętość walca jest iloczynem pola podstawy i wysokości.

\[V=\pi r^2h=\pi\cdot3^2\cdot2\sqrt3=18\sqrt3\pi\]

3 Obliczenie pola całkowitego

Dodajemy pola dwóch podstaw i pole powierzchni bocznej.

\[P_c=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\cdot3^2+2\pi\cdot3\cdot2\sqrt3=(18+12\sqrt3)\pi\]

Odpowiedź

Objętość walca wynosi 18√3π jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi (18 + 12√3)π jednostek kwadratowych.

\[V=18\sqrt3\pi,\qquad P_c=(18+12\sqrt3)\pi\]

Sprawdzenie

Otrzymane wymiary spełniają twierdzenie Pitagorasa oraz dają wskazany kąt przy B.

\[AB^2+AD^2=6^2+(2\sqrt3)^2=48=(4\sqrt3)^2,\qquad \frac{AD}{BD}=\frac{2\sqrt3}{4\sqrt3}=\frac12=\sin30^\circ\]