Zadanie 6 — matura 2026, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2026 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam 3 razy więcej niż drzew iglastych.

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(x\) – liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,
\(y\) – liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew iglastych oraz liczby \(y\) drzew liściastych, jest

\(\begin{cases}x+y=198\\x+18=3y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\3x+18=y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\\frac{1}{3}x+18=y\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=198\\3(x+18)=y\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby wszystkich drzew

W parku jest łącznie 198 drzew obu rodzajów, więc dodajemy ich liczby.

\[x+y=198\]

2 Zapisanie warunku o większej liczbie drzew iglastych

Po dodaniu 18 drzew iglastych byłoby ich x+18. Drzew liściastych byłoby wtedy trzy razy tyle.

\[y=3(x+18)\]

3 Wybranie układu i obliczenie liczb drzew

Otrzymany układ odpowiada odpowiedzi D. Podstawiamy drugie równanie do pierwszego, aby obliczyć x, a następnie y.

\[x+3(x+18)=198\quad\Rightarrow\quad 4x=144\quad\Rightarrow\quad x=36,\qquad y=198-36=162\]

Odpowiedź

Odpowiedź D. W parku rośnie 36 drzew iglastych i 162 drzewa liściaste.

\[\boxed{\begin{cases}x+y=198\\3(x+18)=y\end{cases}}\qquad x=36,\quad y=162\]

Sprawdzenie

Liczba wszystkich drzew wynosi 36+162=198. Po dodaniu 18 drzew iglastych byłoby ich 54, a 162=3·54, więc warunek jest spełniony. Obie liczby są nieujemnymi liczbami całkowitymi.

\[36+162=198,\qquad 162=3(36+18)\]