Matematyka — matura 2025

Dodatnia liczba \(a\) stanowi \(80\%\) liczby \(b\). Liczba \(b\) stanowi

Liczba \((\sqrt{32}-\sqrt{2})^2\) jest równa

Liczba \(\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\) jest równa

Liczba \(\log_3 108-2\log_3 2\) jest równa

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((3x+2)^2-(2x-3)^2\) jest równa wartości wyrażenia

Dana jest nierówność

\[3-2(1-2x)\geq 2x-17\]

Wybierz rysunek, na którym poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność.

Równanie \(2x(x+3)(x^2+25)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(3-m)x-4\).

Funkcja \(f\) nie ma miejsca zerowego dla \(m\) równego

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(n+3)(n-5)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Liczba wszystkich ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), w którym \(a_1=27\) oraz \(a_2=9\).

Czwarty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha\).

Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, punkt \(D\) jest środkiem przyprostokątnej \(AB\) oraz \(|AB|=6\) i \(|CD|=5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, punkt \(D\) jest środkiem przyprostokątnej \(AB\) oraz \(|AB|=6\) i \(|CD|=5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).

Sinus kąta \(\beta\) jest równy

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Miara kąta \(BCA\) jest równa \(50^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego \(ABO\) jest równa

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są: \(|AC|=|BC|=4\) i \(|AB|=3\). Na boku \(BC\), między punktami \(B\) i \(C\), wybrano taki punkt \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek).

Odcinek \(BD\) ma długość

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=11\), \(|BC|=12\) oraz \(|\angle ABC|=60^\circ\) (zobacz rysunek).

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

W układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami

\(k:\ y=(m-2)x+5\)

\(l:\ y=-4x+(m+3)\)

Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=(4,-1)\). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie \(S=(1,3)\).

Przekątna kwadratu \(ABCD\) ma długość

Objętość sześcianu jest równa \(729\).

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\). Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa \(10\). Wysokość tego ostrosłupa jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka \(S\) do krawędzi podstawy \(AB\) tego ostrosłupa jest równa

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czerwone. Kule różnią się jedynie kolorem. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy \(3:5\). Z pudełka losujemy jedną kulę.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ x,\ y\), jest równa \(3\).

Suma \(x+y\) jest równa

Rozwiąż nierówność

\(3(2x^2+1)<11x\)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 0\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\(5x^2+2y^2>2xy\)

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 146 700 złotych – zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.

Wyznacz wszystkie wartości \(m\), dla których trzywyrazowy ciąg

\((2m+11,\;m^2+3,\;5-m)\)

jest arytmetyczny.

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Oblicz średnią arytmetyczną oraz medianę ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy.

Dane są dwa zbiory: \(X=\{1,3,5,7,9\}\) oraz \(Y=\{2,4,6,8\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(Y\) i tworzymy uporządkowaną parę liczb \((x,y)\), gdzie \(x\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(X\) oraz \(y\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(Y\).

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma \(x+y\) wylosowanych liczb będzie liczbą podzielną przez \(3\).

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((−\infty,6\rangle\). Parabola, która jest wykresem funkcji \(f\), przechodzi przez punkty \(A=(−1,3)\) i \(B=(5,3)\).

Oblicz wartość współczynnika \(c\).

Tworząca stożka ma długość \(8\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(120^\circ\).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-2,-1)\), \(B=(0,0)\) oraz \(C=(4,8)\) są wierzchołkami trapezu prostokątnego \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\). Kąt \(DAB\) jest prosty.

Oblicz współrzędne punktu \(D\) oraz długość odcinka \(BD\).