Otwarte2 pkt
Wyznacz wszystkie wartości \(m\), dla których trzywyrazowy ciąg
\((2m+11,\;m^2+3,\;5-m)\)
jest arytmetyczny.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Warunek ciągu arytmetycznego
W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych, więc układamy równanie.
\[2(m^2+3)=(2m+11)+(5-m)\]
2 Rozwiązanie równania
Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki.
\[2m^2-m-10=0\iff(2m-5)(m+2)=0\iff m=\frac52\ \text{lub}\ m=-2\]
Odpowiedź
Ciąg jest arytmetyczny dla \(m=-2\) lub \(m=\frac52\).
\[m\in\left\{-2,\frac52\right\}\]
Sprawdzenie
Dla \(m=-2\) otrzymujemy \((7,7,7)\). Dla \(m=\frac52\) oba kolejne wyrazy różnią się o \(-\frac{27}{4}\), więc obie wartości spełniają warunek.
\[\frac{37}{4}-16=-\frac{27}{4},\qquad \frac52-\frac{37}{4}=-\frac{27}{4}\]