Zadanie 34 — matura 2025, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-2,-1)\), \(B=(0,0)\) oraz \(C=(4,8)\) są wierzchołkami trapezu prostokątnego \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\). Kąt \(DAB\) jest prosty.

Oblicz współrzędne punktu \(D\) oraz długość odcinka \(BD\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie prostych

Podstawy \(AB\) i \(CD\) są równoległe, więc prosta \(CD\) ma ten sam współczynnik kierunkowy co \(AB\). Ponieważ kąt \(DAB\) jest prosty, prosta \(AD\) ma współczynnik kierunkowy przeciwny i odwrotny.

\[a_{AB}=\frac{0-(-1)}{0-(-2)}=\frac12,\qquad CD:\ y-8=\frac12(x-4),\qquad AD:\ y+1=-2(x+2)\]

2 Obliczenie współrzędnych punktu D

Punkt \(D\) jest punktem przecięcia prostych \(CD\) i \(AD\), więc rozwiązujemy ich równania.

\[\frac{x}{2}+6=-2x-5\quad\Rightarrow\quad \frac52x=-11\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{22}{5},\qquad y=\frac12\cdot\left(-\frac{22}{5}\right)+6=\frac{19}{5}\]

3 Obliczenie długości BD

Stosujemy wzór na odległość punktu \(D\) od początku układu, którym jest \(B\).

\[|BD|=\sqrt{\left(-\frac{22}{5}\right)^2+\left(\frac{19}{5}\right)^2}=\frac{\sqrt{845}}{5}=\frac{13\sqrt5}{5}\]

Odpowiedź

Punkt D ma współrzędne \(\left(-\frac{22}{5},\frac{19}{5}\right)\), a długość odcinka BD wynosi \(\frac{13\sqrt5}{5}\).

\[D=\left(-\frac{22}{5},\frac{19}{5}\right),\qquad |BD|=\frac{13\sqrt5}{5}\]

Sprawdzenie

Wektor \(CD\) jest równoległy do \(AB\), a iloczyn skalarny wektorów \(AB\) i \(AD\) wynosi zero. Ponadto kwadrat obliczonej długości BD zgadza się z sumą kwadratów współrzędnych punktu D.

\[\overrightarrow{CD}=\left(-\frac{42}{5},-\frac{21}{5}\right)=-\frac{21}{5}(2,1),\qquad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=(2,1)\cdot\left(-\frac{12}{5},\frac{24}{5}\right)=0,\qquad \left(\frac{13\sqrt5}{5}\right)^2=\frac{169}{5}=\frac{484+361}{25}\]