Zadanie 33 — matura 2025, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Tworząca stożka ma długość \(8\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(120^\circ\).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia i wysokości

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po 60°, więc z definicji sinusa i cosinusa obliczamy promień podstawy oraz wysokość.

\[r=8\sin 60^\circ=4\sqrt{3},\qquad h=8\cos 60^\circ=4\]

2 Obliczenie objętości

Podstawiamy promień i wysokość do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi(4\sqrt{3})^2\cdot4=64\pi\]

3 Obliczenie pola powierzchni całkowitej

Dodajemy pole koła w podstawie i pole powierzchni bocznej; tworząca ma długość 8.

\[P_c=\pi r^2+\pi r\cdot8=48\pi+32\sqrt{3}\pi=16\pi(3+2\sqrt{3})\]

Odpowiedź

Objętość stożka wynosi 64π jednostek sześciennych, a pole powierzchni całkowitej wynosi 16π(3+2√3) jednostek kwadratowych.

\[V=64\pi,\qquad P_c=16\pi(3+2\sqrt{3})\]

Sprawdzenie

Obliczone wymiary spełniają twierdzenie Pitagorasa: kwadrat promienia i kwadrat wysokości sumują się do kwadratu tworzącej. Ponadto stosunek promienia do tworzącej wynosi sin 60°, zgodnie z połową kąta rozwarcia.

\[(4\sqrt{3})^2+4^2=48+16=64=8^2,\qquad \frac{4\sqrt{3}}{8}=\sin 60^\circ\]