Otwarte4 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((−\infty,6\rangle\). Parabola, która jest wykresem funkcji \(f\), przechodzi przez punkty \(A=(−1,3)\) i \(B=(5,3)\).
Oblicz wartość współczynnika \(c\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie osi symetrii
Punkty A i B mają tę samą wysokość, więc oś symetrii paraboli leży w połowie między ich pierwszymi współrzędnymi.
\[x_w=\frac{-1+5}{2}=2\]
2 Zapis postaci kanonicznej
Największa wartość funkcji wynosi 6, zatem wierzchołek ma współrzędne (2,6).
\[f(x)=a(x-2)^2+6\]
3 Obliczenie współczynnika a
Podstawiamy współrzędne punktu A, ponieważ leży on na paraboli.
\[3=a(-1-2)^2+6=9a+6\quad\Rightarrow\quad a=-\frac13\]
4 Obliczenie współczynnika c
W postaci ogólnej c=f(0), więc podstawiamy x=0.
\[c=f(0)=-\frac13(0-2)^2+6=\frac{14}{3}\]
Odpowiedź
Współczynnik c wynosi 14/3.
\[c=\frac{14}{3}\]
Sprawdzenie
Dla x=5 otrzymujemy f(5)=3, więc punkt B leży na paraboli. Ponieważ a<0, wartość 6 w wierzchołku jest maksimum, zgodnie z podanym zbiorem wartości.
\[f(5)=-\frac13(5-2)^2+6=3,\qquad a=-\frac13<0\]