Zamknięte1 pkt
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, punkt \(D\) jest środkiem przyprostokątnej \(AB\) oraz \(|AB|=6\) i \(|CD|=5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).
Sinus kąta \(\beta\) jest równy
A
\(\frac{2}{\sqrt{13}}\)
B
\(\frac{3}{\sqrt{13}}\)
C
\(\frac{5}{2\sqrt{13}}\)
D
\(\frac{4}{5}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie przyprostokątnej AC
Punkt D jest środkiem AB, więc AD ma długość 3. Trójkąt ACD jest prostokątny; z twierdzenia Pitagorasa obliczamy AC.
\[AD=\frac{6}{2}=3,\qquad AC^2=CD^2-AD^2=5^2-3^2=16,\qquad AC=4\]
2 Obliczenie sinusa kąta β
W trójkącie ABC obliczamy przeciwprostokątną, a następnie dzielimy długość boku leżącego naprzeciw kąta β przez długość przeciwprostokątnej.
\[BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13},\qquad \sin\beta=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}\]
Odpowiedź
Odpowiedź A.
\[\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{13}}\]
Sprawdzenie
Obliczone długości spełniają oba równania Pitagorasa: 3² + 4² = 5² oraz 6² + 4² = (2√13)².
\[3^2+4^2=25=5^2,\qquad 6^2+4^2=52=(2\sqrt{13})^2\]